2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式对应学生用书第88页 考试要求会推导两角差的余弦公式.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 链接教材　夯基固本第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝__________________________；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________________；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝__________________________；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝．cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝_________＝_________；(3)tan2α＝．[常用结论]1．两角和与差的公式的常用变形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．2．二倍角余弦公式变形——降幂公式：sin2α＝，cos2α＝2cos2α－11－2sin2α 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角三角形ABC中，sinAsinB和cosAcosB的大小关系不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)sinα＋cosα＝2sin．()√××× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P218例3改编)若cosα＝－，α是第三象限角，则sin等于()A．－B．C．－D．C[∵α是第三象限角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝－＝－.]2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－B．C．－D．D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝.故选D.]√√ 3．(多选)(人教A版必修第一册P223练习T5改编)下列各式的值为的是()A．sincosB．cos2－sin2C．D．2cos222.5°－1BD[对于A，sincos＝sin＝sin＝，不符合题意；对于B，cos2－sin2＝cos＝，符合题意；对于C，＝tan＝tan＝，不符合题意；对于D，2cos222.5°－1＝cos45°＝，符合题意．]√√ 4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝______．[∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝tan10°tan50°，∴原式＝tan10°·tan50°＋tan10°tan50°＝.] 典例精研　核心考点第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一　和、差、倍角公式的直接应用[典例1](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cosαsinβ＝，则cos(2α＋2β)＝()A．B．C．－D．－(2)(2024·湖南雅礼中学模拟)已知tanα＋tanβ＝3，sin(α＋β)＝2sinαsinβ，则tan(α＋β)＝()A．4B．6C．－D．－6√√ (1)B(2)D[(1)依题意，得所以sinαcosβ＝，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＝，所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.(2)由sin(α＋β)＝2sinαsinβ，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝2sinαsinβ，则＝2，即＝2，进而可得＝2，则tanαtanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝＝－6，故选D.]名师点评应用公式化简求值的策略(1)要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [跟进训练]1．(1)(2023·湖南师大附中一模)已知＝2，则tanθ＝()A．B．－C．－D．(2)(2024·广东佛山禅城区一模)已知tan(α＋β)＝2(tanα＋tanβ)，且tanα＋tanβ≠0，cos(α－β)＝，则cos(2α＋2β)＝()A．－B．C．－D．√(1)C(2)C[(1)由＝＝＝tan＝2，∴tanθ＝＝＝－.故选C.√ (2)由题意可得tan(α＋β)＝＝2，因为tanα＋tanβ≠0，所以tanαtanβ＝，由得故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，所以cos(2α＋2β)＝cos＝2cos2(α＋β)－1＝－.故选C.] 考点二　公式的逆用与变形考向1公式的逆用[典例2](多选)下列等式正确的是()A．cos82°sin52°－sin82°cos52°＝B．sin15°sin30°sin75°＝C．＝D．cos215°－sin215°＝BD[选项A中，cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－，故A错误；选项B中，sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°＝sin30°＝，故B正确；选项C中，＝tan(48°＋72°)＝tan120°＝－，故C错误；选项D中，cos215°－sin215°＝cos30°＝，故D正确．]√√ 考向2公式的变形[典例3](1)(多选)已知α，β，γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是()A．cos(β－α)＝B．cos(β－α)＝C．β－α＝－D．β－α＝(2)若α＋β＝－，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________．√(1)AD(2)2[(1)由题意知，sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，将两式分别平方后相加，得1＝(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝2－2(sinβsinα＋cosβcosα)，∴cos(β－α)＝，即选项A正确，B错误；∵γ∈，∴sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，而α，β∈，∴0<β－α<，∴β－α＝，即选项D正确，C错误．(2)tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，所以1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)·(1＋tanβ)＝2．]√2 名师点评三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把值变角以便构造适合公式的形式． [跟进训练]2．(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－B．C．D．－(2)设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝(sin56°－cos56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b(1)B(2)D[(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝.√√ (2)a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°，b＝(sin56°－cos56°)＝sin56°－cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sinx单调递增，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b.] 考点三　角的变换问题[典例4](1)已知sinα＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于()A．B．C．D．(2)(2023·山东烟台三模)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cosβ，tanα＝2，则tanβ的值为()A．－B．－C．D．(1)C(2)A[(1)因为sinα＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角，所以－＜β－α＜.又sin(β－α)＜0，所以－＜β－α＜0，所以cos(β－α)＞0.所以cosα＝，cos(β－α)＝，所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinα·cos(β－α)＋cosα·sin(β－α)＝＝＝，所以β＝.故选C.√√ (2)因为sin(2α＋β)＝cosβ，所以sin(α＋α＋β)＝cos(α＋β－α)，即sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝cos(α＋β)cosα＋sinαsin(α＋β)，显然cosα≠0，两边同除cosα得：tanαcos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋tanαsin(α＋β)，2cos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋2sin(α＋β)，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，易知cos(α＋β)≠0，则tan(α＋β)＝1，tanβ＝tan(α＋β－α)＝＝＝－.故选A.] 名师点评三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，即拆角或凑角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝.(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． [跟进训练]3．(1)(2024·河南郑州模拟)已知sin＝，则cos＝()A．－B．－C．D．(2)(2023·广东湛江一模)＝________．(1)B(2)－[(1)因为sin＝－sin＝，所以sin＝－，所以cos＝cos＝－cos＝－1＋2sin2＝－.故选B.(2)＝＝＝－.]√－ 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(二十五)两角和与差的正弦、余弦和正切公式 THANKS