2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.2．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－＝－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(　√　)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　×　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　×　)(4)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　×　)14 教材改编题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于(　　)A．－B.C．－D.答案　D解析　原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝.2．若将sinx－cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝.答案　解析　因为sinx－cosx＝2，所以cosφ＝，sinφ＝，因为0≤φ<π，所以φ＝.3．已知α∈，且sinα＝，则tan的值为．答案　－解析　因为α∈，且sinα＝，所以cosα＝－＝－，tanα＝＝＝－.所以tan＝＝＝－.题型一　两角和与差的三角函数公式例1　(1)计算：等于(　　)A．－B.C．－D.答案　B14 解析　＝＝＝.(2)(2023·青岛模拟)已知tanα＝1＋m，tanβ＝m，且α＋β＝，则实数m的值为(　　)A．－1B．1C．0或－3D．0或1答案　C解析　因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan ⇒＝1⇒＝1⇒m2＋3m＝0，解得m＝0或m＝－3.思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1　(1)(2023·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　因为sin＝，所以(cosα－sinα)＝.所以cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，得sinαcosα＝，因为cosα＋sinα＝＝，14 所以＝＝＝＝.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，则(　　)A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1答案　C解析　由题意得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2×(cosα－sinα)sinβ，整理得sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式例2　(1)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　在△ABC中，∵C＝120°，∴tanC＝－.∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tanC＝.∴tanA＋tanB＝(1－tanAtanB)，又∵tanA＋tanB＝，∴tanAtanB＝.(2)(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sinα＝，cos2β＝.答案　　解析　因为α＋β＝，所以β＝－α，14 所以3sinα－sinβ＝3sinα－sin＝3sinα－cosα＝sin(α－φ)＝，其中sinφ＝，cosφ＝.所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sin＝cosφ＝，k∈Z.因为sinβ＝3sinα－＝－，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－＝.思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2　(1)(2022·咸阳模拟)已知sin＝，则sinx＋sin等于(　　)A．1B．－1C.D.答案　A解析　因为sin＝，所以sinx＋sin＝sinx＋sinx－cosx＝sin＝1.(2)满足等式(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．答案　(答案不唯一)解析　由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，得1＋tanβ＋tanα＋tanαtanβ＝2，所以tanβ＋tanα＝1－tanαtanβ，所以＝1，所以tan(α＋β)＝1，所以α＋β＝kπ＋，k∈Z，所以α可以为0，β可以为(答案不唯一)．题型三　角的变换问题14 例3　(1)(2020·全国Ⅲ)已知sinθ＋sin＝1，则sin等于(　　)A.B.C.D.答案　B解析　因为sinθ＋sin＝sin＋sin＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝2sincos ＝sin＝1.所以sin＝.(2)已知α，β为锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝－.则sin(2α＋β)的值为．答案　－解析　因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝＝＝，因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝＝，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝－.思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．跟踪训练3　(1)(2023·青岛质检)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.14 答案　－解析　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为sin＝，β－∈，所以cos＝－，所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.(2)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝，tanα＝.答案　－1　解析　∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1，tanα＝tan(α＋β－β)＝＝＝.课时精练1．(2023·苏州模拟)cos24°cos36°－sin24°cos54°等于(　　)A．cos12°B．－cos12°C．－D.答案　D解析　cos24°cos36°－sin24°cos54°＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝.2．(2023·合肥模拟)已知sinα＋cosα＝，则sin等于(　　)A．±B.C．－D．－14 答案　C解析　∵sinα＋cosα＝sin＝，∴sin＝，∴sin＝sin＝－sin＝－.3．(2023·重庆模拟)若2cos80°＝cos20°＋λsin20°，则λ等于(　　)A．－B．－1C．1D.答案　A解析　由已知可得λ＝＝＝－＝－.4．(2023·西安模拟)已知2cos＝sinα，则sinαcosα等于(　　)A．－B.C．－D.答案　D解析　2cos＝sinα，即2cosαcos －2sinαsin ＝sinα，即cosα－sinα＝sinα，则tanα＝，所以sinαcosα＝＝＝.5．(2023·扬州质检)已知sinα＝，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　sinα＝，且α为锐角，则cosα＝＝＝，tanα＝＝.所以tan(α＋β)＝＝＝－1.又β为钝角，则α＋β∈，故α＋β＝.14 6．(2023·威海模拟)已知α∈，若tan＝－2，则cos等于(　　)A.B.C．－D．－答案　C解析　因为α∈，则α＋∈，又tan＝－2<0，故α＋∈，则cos＝，sin＝－，故cos＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝－.7．(2022·重庆模拟)cos15°sin10°cos20°＋cos10°cos70°－2cos45°sin15°sin10°sin70°的值为______．答案　解析　原式＝cos20°sin10°(cos15°－sin15°)＋cos10°cos70°＝cos20°sin10°×cos(45°＋15°)＋cos10°cos70°＝cos20°sin10°＋cos10°sin20°＝sin30°＝.8．(2022·上海模拟)已知α，β∈，且tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α＋β＝.答案　－解析　由tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝得tan(α＋β)＝＝，又α，β∈，则α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.9．(2023·合肥模拟)已知α，β∈，且(1)求α＋β的值；14 (2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值．解　(1)因为α，β∈，所以cosα>0，cosβ>0，由解得cosα＝，cosβ＝，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.(2)因为α＋β＝，sin＝>sinα＝>sinβ＝，且函数y＝sinx在上单调递增，所以0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝.10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin＝cos(－α)；③3sin＝cos中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知0<β<α<，，cos(α＋β)＝－.(1)求sin；(2)求β.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)若选①，tan(π＋α)＝tanα＝＝3，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sinα＝，cosα＝，14 所以sin＝sinαcos－cosαsin ＝×－×＝.若选②，因为sin(π－α)－2sin＝cos(－α)，化简得sinα＝3cosα，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sinα＝，cosα＝，所以sin＝sinαcos －cosαsin ＝×－×＝.若选③，因为3sin＝cos，化简得3cosα＝sinα，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sinα＝，cosα＝，所以sin＝sinαcos －cosαsin ＝×－×＝.(2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝＝，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝，又因为0<β<，所以β＝.11．已知3sinx－4cosx＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　3sinx－4cosx＝5＝5sin(x＋φ)，其中sinφ＝－，cosφ＝，所以φ所在的象限为第四象限．12．(多选)已知α，β，γ∈，sinβ＋sinγ＝sinα，cosα＋cosγ＝cosβ，则下列说法正确的是(　　)A．cos(β－α)＝B．cos(β－α)＝C．β－α＝D．β－α＝－14 答案　BD解析　由已知可得所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sinα－sinβ)2＋(cosβ－cosα)2＝2－2(cosβcosα＋sinβsinα)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝，因为α，β，γ∈，则－<β－α<，因为sinγ＝sinα－sinβ>0，函数y＝sinx在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α＝－.13．(2023·武汉质检)设sin＝2cosαsin ，则的值为(　　)A.B.C．2D．4答案　B解析　∵sin＝2cosαsin ，∴sinαcos －cosαsin ＝2cosαsin ，即sinαcos ＝3cosαsin ，∴tanα＝3tan ，∵cos＝cos＝sin＝sinαcos ＋cosαsin ，∴＝＝＝＝.14．(多选)下列结论正确的是(　　)A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B．3sinx＋3cosx＝3sinC．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为14 D．sin50°(1＋tan10°)＝1答案　CD解析　对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；对于B，3sinx＋3cosx＝6＝6sin，故B错误；对于C，f(x)＝sin ＋cos ＝sin，所以f(x)的最大值为，故C正确；对于D，由sin50°(1＋tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1，故D正确．15．(2023·厦门模拟)若＝－3，则＝________.答案　2解析　依题意，＝＝＝＝－3，整理得tanα＝2tan ，所以＝2.16．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1,0)进行一次T 变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次14 T 变换得到点A1，则A1的坐标为；若对点B进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为．答案　(－1，)　解析　点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.进行一次T 变换，即将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A1，即坐标为A1(－1，).因为对点B进行一次T(θ，ρ)变换后得到点B1(－3，－4)，|OB|＝＝1，|OB1|＝＝5，所以ρ＝5，所以|OB2|＝|OB1|·ρ＝5×5＝25，设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sinα＝，cosα＝，tanα＝，并且sin(α＋θ)＝－，cos(α＋θ)＝－，tan(α＋θ)＝，根据tanθ＝tan[(α＋θ)－α]＝＝＝，因为π<θ<，所以sinθ＝－，cosθ＝－，所以cos[(α＋θ)＋θ]＝cos(α＋θ)cosθ－sin(α＋θ)sinθ＝×－×＝，sin[(α＋θ)＋θ]＝sin(α＋θ)cosθ＋cos(α＋θ)sinθ＝×＋×＝，所以B2，即B2.14