2025年高考数学一轮复习教学课件第3章 第4课时　利用导数证明不等式

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第三章一元函数的导数及其应用 第4课时　利用导数证明不等式对应学生用书第70页 典例精研　核心考点第4课时　利用导数证明不等式考点一　移项构造法证明不等式[典例1](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a＞0时，f(x)＞2lna＋.[解](1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞－lna，令f′(x)＜0，得x＜－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－＝a2－lna－，a∈(0，＋∞)，所以g′(a)＝2a－，令g′(a)＞0，得a＞；令g′(a)＜0，得0＜a＜.所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增，所以函数g(a)的最小值为g＝－ln＝ln＞0，所以当a＞0时，f(x)＞2lna＋成立． 【教师备选资源】证明：当x>1时，x2＋lnx<x3.[证明]设g(x)＝x3－x2－lnx，则g′(x)＝2x2－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝＞0，所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x＞1时，x2＋lnx＜x3. 名师点评一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明．提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明． [跟进训练]1．证明：当x∈[0，2]时，x2e2x-2≥－2x2＋8x－5.[证明]令g(x)＝x2e2x-2＋2x2－8x＋5，x∈[0，2]，则g′(x)＝2e2x-2(x2＋x)＋4x－8，x∈[0，2].令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2e2x-2(2x2＋4x＋1)＋4>0，所以g′(x)在[0，2]上单调递增，且g′(1)＝0，所以g(x)在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0，所以g(x)≥0，即x2e2x-2≥－2x2＋8x－5. 考点二　隔离分析法证明不等式[典例2]设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)求证：f(x)>1.[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex，依题意得解得a＝1，b＝2. (2)证明：由(1)知f(x)＝exlnx＋，x＞0，从而f(x)>1等价于xlnx>xe－x－.构造函数g(x)＝xlnx(x>0)，则g′(x)＝1＋lnx，所以当x∈时，g′(x)<0，当x∈时，g′(x)>0，故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.构造函数h(x)＝xe－x－(x>0)，则h′(x)＝e－x(1－x)，所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，故h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.名师点评在同时含lnx与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．如本例中直接构造函数，求导运算比较复杂，此时把指数与对数分离两边，构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． [跟进训练]2．已知函数f(x)＝xlnx－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．[解](1)函数f(x)＝xlnx－ax的定义域为(0，＋∞)．当a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x，f′(x)＝lnx＋2.由f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x)min＝f＝－，但f(x)在(0，＋∞)上无最大值． (2)证明：当x＞0时，lnx＋1＞等价于x(lnx＋1)＞.由(1)知a＝－1时，f(x)＝xlnx＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号．设G(x)＝，x∈(0，＋∞)，则G′(x)＝，易知G(x)max＝G(1)＝－，当且仅当x＝1时取到最大值，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞G(x)，即lnx＋1＞. 考点三　放缩法证明不等式[典例3](12分)设函数f(x)＝ex＋asinx＋b(a，b为实数)，且曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为x－y－1＝0.(1)求a，b的值；(2)求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞lnx.[规范解答](1)f′(x)＝ex＋acosx，且f(0)＝1＋b.由题意得f′(0)＝e0＋a＝1⇒a＝0.··················2分又点(0，1＋b)在切线x－y－1＝0上，所以0－1－b－1＝0⇒b＝－2.···················4分 (2)证明：由(1)知f(x)＝ex－2.先证：ex－2＞x－1，↓即ex－x－1＞0(x＞0)，令g(x)＝ex－x－1(x＞0)，则g′(x)＝ex－1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故g(x)＞g(0)＝0，即ex－2＞x－1．①···············7分再证：x－1≥lnx(x＞0)， 即x－1－lnx≥0(x＞0)，令φ(x)＝x－1－lnx(x＞0)，则φ′(x)＝1－＝，·······················9分故φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则φ(x)min＝φ(1)＝0，即x－1－lnx≥0，所以x－1≥lnx.②·······················11分由①②得ex－2＞lnx，即f(x)＞lnx在(0，＋∞)上恒成立．················12分↓ 名师点评导数的综合应用题中，最常见的就是ex和lnx与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩不等式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2，当且仅当x＝0时取等号；(4)当x≥0时，exx2＋1，当且仅当x＝0时取等号；(5)≤lnx≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号．提醒：用这些切线不等式放缩时，必须先证明不等式成立，再利用其解题． [跟进训练]3．已知函数f(x)＝lnx＋－1.(1)求函数f(x)的最小值；(2)当x∈(0，π)时，证明：ex＞(1－lnx)sinx.[解](1)因为函数f(x)＝lnx＋－1的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝，所以当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，所以当0＜x＜1时，函数f(x)单调递减；当x＞1时，函数f(x)单调递增．所以f(x)≥f(1)＝0，即函数f(x)的最小值为0. (2)证明：当x∈(0，π)时，要证明ex＞(1－lnx)·sinx，只要证＞1－lnx，由(1)可知lnx＋－1≥0，即1－lnx，所以要证＞1－lnx，只需证＞，即证xex－sinx＞0.令h(x)＝xex－sinx，则h′(x)＝(x＋1)ex－cosx，当0＜x＜π时，h′(x)＝(x＋1)ex－cosx＞e0－1＝0，所以函数h(x)在(0，π)上单调递增，所以当0＜x＜π时，h(x)＞h(0)＝0，即xex－sinx＞0，所以当x∈(0，π)时，不等式ex＞(1－lnx)sinx成立． 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(二十)利用导数证明不等式 THANKS