2025年高考数学一轮复习教学课件第2章 第5课时　函数性质的综合应用

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第二章函数的概念与性质 第5课时　函数性质的综合应用对应学生用书第29页 典例精研　核心考点第5课时　函数性质的综合应用考点一　函数的奇偶性与单调性[典例1](1)(2024·浙江金华期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，则关于x的不等式f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集为()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)(2)(多选)(2023·四省联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则()A．f(f(1))＜f(f(2))B．f(g(1))＜f(g(2))C．g(f(1))＜g(f(2))D．g(g(1))＜g(g(2))√√√ (1)B(2)BD[(1)因为对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，即f(x1)－x1＜f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，则g(x)在R上单调递增，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2x－2)＝－f(2x＋2)，由f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3得f(x2－1)－(x2－1)＜－f(－2x－2)－(2x＋2)＝f(2x＋2)－(2x＋2)，即g(x2－1)＜g(2x＋2)，所以由g(x)的单调性得x2－1＜2x＋2，即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，所以－1＜x＜3，即f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(－1，3)．故选B.(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)＜f(2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))，g(g(1))＜g(g(2))，所以BD正确，C错误；若|f(1)|＞|f(2)|，则f(f(1))＞f(f(2))，A错误．故选BD.] 名师点评1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．2．对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解． [跟进训练]1．(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3](2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是()A．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)C．f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)√√√ (1)D(2)AC[(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图①所示，则函数f(x－1)的大致图象如图②所示．当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调递减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)<f(b)<0，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)．对于A，f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)<0(因为f(a)＝g(a)在a>0上成立)，所以A正确；对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；对于C，f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]<0，这与f(a)<f(b)符合，所以C正确；对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)<f(b)矛盾，所以D错误．] 考点二　函数的奇偶性与周期性[典例2](1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，则()A．f＝0B．f(－1)＝0C．f(2)＝0D．f(4)＝0(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f等于()A．B．C．D．－√√ (1)B(2)D[(1)∵f(x＋2)是偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，∵f(2x＋1)是奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函数f(x)的周期为4，其他几个不一定为0，故选B.(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，∴f＝f＝f＝f＝－f＝－f＝－.]名师点评周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常先利用奇偶性推导出周期性，然后将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解． [跟进训练]2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f等于()A．－B．C．－D．√C[由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．又由当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f＝f＝－f＝－f＝－＝－.] 考点三　函数的奇偶性与对称性[典例3](1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝()A．5B．1C．－1D．－5(2)定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)√√ (1)B(2)A[(1)因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋2)＝g(2－x)，又g(2－x)＝f(2－x)＝f(2－x)，且g(x＋2)＝f(x＋2)，所以f(2－x)＝f(2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x)，因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)＝－f(－1)＝1，因此，g(3)＝f(3)＝f(1)＝1.故选B.(2)∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)是周期函数且周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故选A.]名师点评由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． [跟进训练]3．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)的值为()A．－2B．－1C．0D．1D[∵f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(－x)＝－f(2＋x)，又f(x)为R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0，又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1．]√ 考点四　函数的对称性与周期性[典例4](1)(2024·山东济南期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则函数f(x)的周期是()A．2B．3C．4D．5(2)(2023·广东广州一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则＝()A．116B．115C．114D．113√√ (1)C(2)C[(1)因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2),因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，则f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f[－(x＋1)＋1]＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋2)，所以f(－x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期是4.故选C.(2)由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，又f(x＋2)为偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函数f(x)也为偶函数，又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，又f(1)＋f(－1)＝2，即2f(1)＝2，所以f(1)＝1，又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，∴f(2)＝0，所以＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114.故选C.] 名师点评函数的周期性与对称性的关系(1)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sinx的图象)(2)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sinx的图象)(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sinx的图象) [跟进训练]4．(1)(2023·天津和平区一模)已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(2－x)＋4f(2)，若函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，则f(2024)＝()A．6B．3C．0D．－3(2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝()A．－B．－C．D．√√ (1)C(2)D[(1)令x＝0，得f(2)＝f(2)＋4f(2)，即f(2)＝0，f(x＋2)＝f(2－x)，因为函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数，所以f(2024)＝f(253×8＋0)＝f(0)＝0.故选C.(2)由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×－2＝.] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(十)函数性质的综合应用 THANKS