2025年高考数学一轮复习教学课件第2章 第4课时　函数的对称性

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第二章函数的概念与性质 第4课时　函数的对称性对应学生用书第27页 考试要求能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.会利用对称公式解决问题． 链接教材　夯基固本第4课时　函数的对称性1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于___对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线____对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点________．原点y轴x＝a(a，0) 2．函数的轴对称和中心对称(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)．(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点_______对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数f(x)的图象的对称中心为.3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于___对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于___对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于____对称．(4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝对称．(a，0)y轴x轴原点 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(2)若函数y＝f(x＋1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．()(3)若函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的图象关于y轴对称．()(4)若函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．()×√×× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)＝x3＋x的图象关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称C[因为f(x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称B[因为y＝＝3－x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B.]√√ √3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是()A．y＝B．y＝x＋C．y＝D．y＝x－AC[由y＝知定义域为R，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，所以A正确；由y＝x＋知定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以B错误；由y＝知定义域为R，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，所以C正确；由y＝x－知定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)－＝－＝－f(x)，所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，所以D错误．故选AC.]√ 4．(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1.(1)若f(x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)的对称中心为点________．2(0，1) (1)2(2)(0，1)[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin，∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2.(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0，0)，所以函数f(x)的对称中心为点(0，1)．法二：∵g(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，在R上为奇函数，所以⇒所以函数f(x)的对称中心为点(0，1)．] 典例精研　核心考点第4课时　函数的对称性考点一　轴对称问题[典例1](1)已知定义在R上的函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x)＞f(x＋2)的x的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，0)∪(2，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)(2)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于点(2，0)对称C．f(x)的周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数√√√√ (1)B(2)ACD[(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f(x＋1)的对称轴为y轴，又函数y＝f(x＋1)向右平移1个单位长度可得y＝f(x)，∴函数y＝f(x)的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，∴由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|，解得x＜0或x＞2.故选B.(2)∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，故C正确；∵f(x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．] 名师点评轴对称的几种表述形式(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． [跟进训练]1．(1)已知函数f(x)＝3|x－a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝()A．29B．11C．3D．5(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，则该函数图象的对称轴为直线x＝____．(1)B(2)1[(1)因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f(6)＝3|6-4|＋2＝11.故选B.(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，∵g(1＋x)－g(1－x)＝(1＋x)2－2(1＋x)＋a(e1+x-1＋e-1-x+1)－(1－x)2＋2(1－x)－a(e1-x-1＋e-1+x+1)＝x2－1＋a(ex＋e－x)－x2＋1－a(e－x＋ex)＝0，∴y＝g(x＋1)是一个偶函数．∴g(x)的图象关于直线x＝1轴对称.]√1 考点二　中心对称问题[典例2](1)(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(－3x＋1)为奇函数，则下列式子一定成立的是()A．f(2)＝0B．f(1)＝0C．f(0)＝0D．f(－1)＝0(2)已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1．若函数y＝f(x)与y＝图象的交点为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则的值为()A．0B．nC．2nD．3n√√√ (1)BD(2)C[(1)因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，函数f(x)关于直线x＝2对称，因为f(－3x＋1)为奇函数，所以f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，函数f(x)关于点(1，0)对称，因为函数f(x)定义域为R，所以f(1)＝0，B正确；又因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝0，由f(－3x＋1)＝－f(3x＋1)，令x＝，可得f(－1)＝－f(3)＝0，D正确；可构造函数f(x)＝cos满足题意，此时f(2)＝cos0＝1，f(0)＝cos(－π)＝－1，AC错误．故选BD. (2)由对任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1，可知函数的图象关于点对称，又y＝＝＝－，所以函数y＝图象的中心对称点为，所以两个函数图象的交点成对出现，且每对交点都关于点对称，则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－×2＝－1，所以＝5×＋(－1)×＝2n.故选C.] 名师点评中心对称的几种表述形式(1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称．(2)双曲线型函数f(x)＝的图象的对称中心为. [跟进训练]2．(1)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1(2)(多选)以下函数的图象是中心对称图形的是()A．f(x)＝2x2＋1B．f(x)＝x3C．f(x)＝D．f(x)＝√√√√(1)D(2)BCD[(1)因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为点(0，0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数． (2)对于A，由二次函数的性质可知，函数f(x)＝2x2＋1无对称中心，故A错误；对于B，函数f(x)＝x3是奇函数，故其图象关于原点对称，故B正确；对于C，f(x)＝＝＝2＋，所以f(x)＝的图象可以由反比例函数y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，且反比例函数y＝的图象关于原点对称，所以函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，故C正确；对于D，函数的定义域为R，且f(0)＝0，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故D正确．故选BCD.] 考点三　两函数图象间的对称问题[典例3](1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3，0)对称(2)(多选)函数f(x)＝sinx的图象与g(x)＝cosx的图象关于某条直线对称，这条直线的方程可以是()A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－√√√ (1)A(2)AD[(1)设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．(2)设这条直线的方程是x＝a，∵函数f(x)＝sinx的图象与g(x)＝cosx的图象关于直线x＝a对称，∴sin(2a－x)＝cosx，即cos＝cosx，∴－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，解得a＝－kπ，k∈Z，当k＝0时，a＝；当k＝2时，a＝－.故选AD.]名师点评函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． [跟进训练]3．设函数y＝f(x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f(3)＋f(9)＝1，实数m的值为________．1[∵函数y＝f(x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m，∴f(x)＝log3x－m，∴f(3)＋f(9)＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1．]1 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(九)函数的对称性 THANKS