2025年高考数学一轮复习教学课件第2章 第1课时　函数的概念及其表示

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第二章函数的概念与性质 【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：函数的奇偶性、函数性质的综合．函数的性质主要考查与抽象函数有关的问题(奇偶性、单调性、对称性、周期性等)．2．轮考点：函数的概念、图象、函数的应用．(1)函数的概念主要考查新定义问题、分段函数的求值等问题；(2)函数的图象主要考查基本初等函数图象的识别；(3)指数、对数、幂函数主要考查代数值的大小比较，对数函数的性质应用等问题；(4)函数的应用主要考查函数零点问题、函数模型的应用等． 第1课时　函数的概念及其表示对应学生用书第17页 考试要求了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.了解简单的分段函数，并能简单应用.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 链接教材　夯基固本第1课时　函数的概念及其表示1．函数的概念概念一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的___________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域__的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合____________实数集任意一个数x唯一x{f(x)|x∈A} 2．同一个函数如果两个函数的______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法：______、______、______．提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的____．定义域对应关系解析法图象法列表法并集 [常用结论]1．注意以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f(x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合．(4)若f(x)＝x0，则f(x)的定义域为{x|x≠0}．(5)正切函数y＝tanx的定义域为. 2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．()(3)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．()×××× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f(x)＝则f(f(－1))＝()A．16B．4C．5D．－4A[f(f(－1))＝f(2)＝16.故选A.]2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f(x)＝|x－1|的图象是()B[函数f(x)＝|x－1|＝结合选项可知，选项B正确．故选B.]ABCD√√ √3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是()A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝与g(x)＝xC．f(x)＝与g(x)＝D．f(x)＝x与g(x)＝AC[f(x)＝与g(x)＝x的值域不同；f(x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．]4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋，则f(x)的定义域为_____________________；若f(a)＝2，则a的值为________．(－∞，0)∪(0，＋∞)1[要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(a)＝2得a＋＝2，解得a＝1．]√(－∞，0)∪(0，＋∞)1 典例精研　核心考点第1课时　函数的概念及其表示考点一　求函数的定义域[典例1](1)(2024·河北衡水中学模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是()A．(1，5]B．(1，2)∪(2，5)C．(1，2)∪(2，3]D．(1，3](2)(2024·河南南阳模拟)函数y＝lg(1＋tanπx)＋的定义域为_______．√ (1)C(2)[(1)因为函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，函数y＝＋(x－2)0有意义，所以解得1<x<2或2<x≤3，所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3].故选C.(2)由题意得解得－<x<.] 名师点评求函数的定义域的策略(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．(2)求抽象函数的定义域：①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f(x)的定义域． [跟进训练]1．(1)(2024·重庆模拟)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是()A．B．[－1，4]C．[－5，5]D．[－3，7](2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．√√ (1)A(2)D[(1)∵函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，∴x∈[－2，3]，则x＋1∈[－1，4]，即函数f(x)的定义域为[－1，4]，∴－1≤2x－1≤4，得0≤x≤，∴函数y＝f(2x－1)的定义域为.故选A.(2)由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R.当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，解得0<a<.综上，实数a的取值范围是.] 考点二　求函数的解析式[典例2]求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 【教师备选资源】(5)设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，则f2024(x)＝()A．B．C．xD．－[解](1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵f＝x2＋＝－2，令t＝x＋，当x＞0时，t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，当x＜0时，t＝－≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．√ (3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，所以即所以f(x)＝x2－x＋2.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x. 【教师备选资源】(5)C[(归纳法)由已知条件得到f2(x)＝f(f1(x))＝＝＝－，f3(x)＝f(f2(x))＝＝＝，f4(x)＝f(f3(x))＝＝＝x，f5(x)＝f(f4(x))＝，可见fn(x)是以4为周期的函数，而2024＝506×4，所以f2024(x)＝f4(x)＝x.] 名师点评求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式，注意g(x)的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)． [跟进训练]2．(1)(易错题)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________________．(2)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________．(3)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝______．(1)x2－4x＋3(x≥1)(2)－x－(3)4x＋1[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．x2－4x＋3(x≥1)－x－4x＋1 (2)因为f(x)－2f＝2x，①以代替①中的x，得f－2f(x)＝，②①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，所以f(x)＝－x－.(3)∵f(x)为单调递增的一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)．因此f(x)＝4x＋1．] 考点三　分段函数考向1求值问题[典例3](1)(2024·四川成都七中模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝()A．－6B．0C．4D．6(2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝____．(1)A(2)2[(1)由分段函数可知，当x≤0时，周期T＝1，所以f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝1－3－4＝－6，所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(－6＋7)＝f(1)＝－6.故选A.(2)因为>2，所以f()＝6－4＝2，所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]√2 考向2解方程或不等式[典例4](1)函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝()A．2B．4C．6D．8(2)已知函数f(x)＝则f(x)＜f(x＋1)的解集为____________．√ (1)D(2)[(1)由分段函数的定义知，f(x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0.①当0<a<1时，－1<a－1<0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝，解得a＝，∴f＝f(4)＝8.②当a≥1时，a－1≥0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D.(2)由题意知，当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)⇔x2－1＜(x＋1)2－1，解得－＜x≤0.当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0.所以当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)，当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)⇔log2x＜log2(x＋1)恒成立．综上可知，f(x)＜f(x＋1)的解集为.] 名师点评分段函数的几类题型及解决方法(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． [跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于()A．0或1B．－1或1C．0或－2D．－2或－1(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是_____________________．√－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞) (1)D(2)－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)[(1)令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或－1.(2)若f(a)＝4，则或解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，则或解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(六)函数的概念及其表示 THANKS