2025年高考数学一轮讲义第10章 第4课时　概率、统计的综合问题

第4课时　概率、统计的综合问题考点一　以统计图表为载体的概率统计问题[典例1]　(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图．(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．[跟进训练]6/6 1．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25)[25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且σ＝6.1，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1)；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15)的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动不低于15天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15)[15，30]男生女生合计并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联．如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　概率、统计与数列的综合问题[典例2]　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：6/6 若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．求：(1)第2次投篮的人是乙的概率．(2)第i次投篮的人是甲的概率．(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解答此类问题关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn＋1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．[跟进训练]2．(2024·山东青岛开学考试)某篮球赛事采取四人制形式．在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．n次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为Pn.(1)求P3；(2)当n＝3时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；(3)当n≥4时，证明：Pn＝13+23Pn－1－13n-1.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　概率、统计与函数的交汇问题6/6 [典例3]　(12分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：X1230Pαpαα(1－p)α(1－p)2其中α＞0，0＜p＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i＝0，1，2，3)，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)．(1)若p＝12，求α及P(B)；(2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)．①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？②是否存在p的值使得E(X)＝53，请说明理由．[规范解答]　(1)由题意得αp＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，p＝12，解得α＝415.·1分又因为P(B|A1)＝12，P(B|A2)＝122＝14，P(B|A3)＝C32123+C33123＝12.···················4分　　　　　　　↓　　　　失分点：不会概率建模导致相应的概率求解错误所以P(B)＝＝12×815+14×415+12×215＝25(i＝1，2，3)．··5分(2)①由已知αp＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，　　　　　　↓　　　　切入点：建立α与p的等量关系变形整理得，1α＝p2－3p＋1p＋3.···················6分可设f(p)＝p2－3p＋1p＋3，0＜p＜1，所以f′(p)＝2p3-3p2-1p2.·······················7分设g(p)＝2p3－3p2－1，6/6 即g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)＜0，故g(p)在(0，1)上单调递减，因为g(0)＝－1，所以g(p)＜0，所以f′(p)＜0，　　　　　　　　↓关键点：视“p”为变量，建立函数f(p)，g(p)故f(p)在(0，1)上单调递减，所以增加p的取值，1α会减小，α增大，即P(X＝2)增大．······························9分②假设存在p使E(X)＝αp＋2α＋3α(1－p)＝53，又因为1α＝p2－3p＋1p＋3，将上述两等式相乘，化简整理得：5p3－6p2＋2＝0，设h(p)＝5p3－6p2＋2，0＜p＜1，即h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4).··················11分所以h(p)在0，45上单调递减，在45，1上单调递增，故h(p)min＝h45＝1825＞0.所以不存在p，使得E(X)＝53.····················12分　该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化．[跟进训练]3．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 6/6