2025年高考数学一轮讲义第9章 第3课时　随机事件与概率

第3课时　随机事件与概率[考试要求]　1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2．理解事件间的关系与运算.3．掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．1．样本空间与样本点(1)样本点：随机试验E的每个可能的________称为样本点，常用ω表示．(2)样本空间：__________的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．2．随机事件、必然事件与不可能事件(1)随机事件：________________称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件∅(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．3．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生______相等关系B⊇A且A⊇B______并事件(和事件)A与B至少一个发生______________交事件(积事件)A与B同时发生____________互斥(互不相容)A与B不能同时发生__________互为对立A与B有且仅有一个发生__________，__________4．古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有______；7/7 (2)等可能性：每个样本点发生的可能性____．5．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝nAnΩ.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．6．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__________________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝____________．性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：(一般概率加法公式)设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝___________________________．7．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．(3)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)必然事件一定发生．(　　)(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(　　)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　　)7/7 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P235练习T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是(　　)A．至少有一次中靶　　B．两次都中靶C．只有一次中靶　D．两次都不中靶2．(人教A版必修第二册P238例9改编)袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)A．25　　B．35　C．14　　D．163．(人教A版必修第二册P247习题10.1T13改编)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)A．0.9　B．0.3C．0.6　D．0.44．(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝__________；(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝__________．考点一　随机事件与样本空间[典例1]　(1)同时投掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(　　)A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是(　　)A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球7/7 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．求样本空间中样本点个数的方法：(1)列举法；(2)树状图法；(3)排列组合法.2．互斥事件与对立事件的关系对立事件是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．对立事件是互斥事件的充分不必要条件．[跟进训练]1．(1)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则(　　)A．A∪B表示向上的点数是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或3D．A∩B表示向上的点数是1或5(2)已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是15，且P(A)＝3P(B)，则P(A)＝________．考点二　随机事件的频率与概率[典例2]　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(min/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　计算简单随机事件的频率或概率的步骤提醒：互斥事件的概率加法公式的适用条件是事件必须是互斥事件．重视利用对立事件的概率和等于1，用间接法求概率．[跟进训练]2．某座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：mm)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成近20年六月份降雨量频率分布表；降雨量70110140160200220频率12015110(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　古典概型[典例3]　有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A107/7 直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件．①用零件的编号列出样本空间；②求这2个零件直径相等的概率．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用公式法求解古典概型问题的步骤提醒：若样本点个数不多，要列出样本空间，若样本点个数多，用排列组合方法求．[跟进训练]3．(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)A．56　B．23C．12　D．13(2)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)A．16　B．137/7 C．12　D．237/7