2025年高考数学一轮讲义第9章 第4课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第4课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式[考试要求]　1．了解两个事件相互独立的含义.2．理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．1．事件的相互独立性概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立性质若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)＝________，P(A|B)＝________2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝nABnA；②概率的乘法公式：P(AB)＝______________________．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝___________，我们称该公式为全概率公式．[常用结论]1．事件的关系与运算(1)A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为AB.(2)A，B恰有一个发生的事件为AB+AB；A，B至多有一个发生的事件为AB＋AB+AB.2．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝6/6 Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝PAiPBAiPB＝P__P____，i＝1，2，…，n.3．P(AB)求法：(1)古典概型；(2)相互独立：P(AB)＝P(A)P(B)；(3)概率的乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件．(　　)(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　　)(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)二、教材经典衍生1．(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　)A．A与B相互独立　B．A与C相互独立C．A与C互斥　D．A与B互斥2．(人教A版选择性必修第三册P46例1改编)在5道题中有3道代数题和2道几何题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率为(　　)A．12　B．25C．35　D．343．(人教A版必修第二册P253练习T3改编)天气预报：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)A．0.2　B．0.3C．0.38　D．0.564．(人教A版选择性必修第三册P50例4改编)6/6 某同学喜爱篮球和跑步运动．在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为34.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为23.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为________．考点一　事件的相互独立性[典例1]　(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)A．甲与丙相互独立　　B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立　D．丙与丁相互独立(2)(2023·陕西西安二模)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是(　　)A．两个球都是红球的概率为16B．两个球中恰有1个红球的概率为12C．两个球不都是红球的概率为13D．至少有1个红球的概率为23[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：6/6 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[跟进训练]1．(1)(2023·湖北武汉三模)设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，则A，B，C三个事件________(填“是”或“不是”)两两独立，且PABCPAPBPC＝________．(2)(2024·山东淄博模拟)11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲、乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10∶10平后，甲先发球，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．①求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率；②求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　条件概率[典例2]　(1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)A．0.8　B．0.6C．0.5　D．0.4(2)(2024·天津武清模拟)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中一次性任取3球，则恰有一个白球的概率是________；若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B，则P(B|A)＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA，这是求条件概率的通法．(2)缩小样本空间法，借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.[跟进训练]2．(1)(2023·辽宁锦州二模)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是12、23、23，已知在系统正常工作的前提下，求只有K和A1正常工作的概率是(　　)A．49　B．34C．14　D．19(2)(2022·天津高考)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为________．考点三　全概率公式的应用[典例3]　(2024·山西大同模拟)假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同．(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，P(B)＝i=13PAiPBAi．(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．[跟进训练]3．(1)(2023·合肥调研)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　)A．0.155　B．0.175C．0.016　D．0.096(2)(2024·广东梅州模拟)有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为________；若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为________．6/6