2025年高考数学一轮讲义第10章 第1课时　随机抽样、统计图表

第1课时　随机抽样、统计图表[考试要求]　1．理解随机抽样的必要性和重要性.2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法，掌握分层随机抽样的均值计算方法.3．理解统计图表的含义．1．总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为____，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为____，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为____，样本中包含的个体数称为________，简称样本量．2．简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．除非特殊声明，所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．(1)抽取方式：__________抽取；(2)特点：每个个体被抽到的概率____；(3)常用方法：抽签法和________．3．分层随机抽样(1)分层随机抽样的相关概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行________抽样，再把所有子总体中抽取的样本________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为__．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．(2)分层随机抽样的样本均值与样本方差①在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别是M，N，抽取的样本量分别为m，n，第1层和第2层的样本平均数分别为x，y9/9 ，样本平均数为w，则w＝MM+Nx+NM+Ny＝__________．②在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果抽取的样本量为n，样本平均数为z，第1层和第2层的样本量分别为n1，n2，样本平均数分别为x，y，方差分别为s12，s22，则样本方差s2＝__．4．统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、______________等．(2)作频率分布直方图的步骤①求____；②决定____与____；③将____分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．[常用结论]总体数是N，样本容量为n，每一层的总体数分别是N1，N2，…，Nm，每一层中抽取的样本数为n1，n2，…，nm，则满足关系：(1)nN＝n1N1＝…＝nmNm；(2)n1∶n2∶…∶nm＝N1∶N2∶…∶Nm；(3)n1＝nN1N，…，nm＝nNmN.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．(　　)(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P177练习T1改编)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生9/9 B．样本是指1000名学生的数学成绩C．样本量指的是1000名学生D．个体指的是1000名学生中的每一名学生2．(人教A版必修第二册P185练习T3改编)一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取________名，女运动员应抽取________名．3．(人教A版必修第二册P213例6改编)为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从(1)班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从(2)班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为________，样本方差为________．4．(人教A版必修第二册P198练习T1改编)从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～300kW·h之间，适当分组(每组为左闭右开区间)后绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)直方图中x的值为________；(2)在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为________．考点一　简单随机抽样[典例1]　(1)(2024·安徽六安模拟)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)A．p1＝p2<p3　　B．p2＝p3<p1　C．p1＝p3<p2　D．p1＝p2＝p3(2)已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按9/9 01，02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行：8442175331　5724550688　7704744767　2176335025　83921206766301637859　1695565719　9810507175　1286735807　44395238793321123429　7864560782　5242074438　1551001342　9966027954若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是(　　)A．07　　B．12C．39　　D．44[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　简单随机抽样的适用范围简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．[跟进训练]1．(1)(多选)下列抽取样本的方式，不是简单随机抽样的是(　　)A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C．从80件玩具中一次性抽取3件进行质量检验D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛(2)某“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1，2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．考点二　分层随机抽样　求总体或样本容量[典例2]　(多选)(2024·山西忻州开学考试)9/9 航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱．该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者．某学校为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查．已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是(　　)A．该校高一学生人数是2000B．样本中高二学生人数是28C．样本中高三学生人数比高一学生人数多12D．该校学生总人数是8000[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分层随机抽样的均值与方差[典例3]　已知某班男、女同学的人数之比为5∶4，该班所有同学进行踢毽子比赛，比赛规则如下：每名同学用脚踢起毽子，在毽子落地前用脚接住并踢起，脚没有接到毽子则比赛结束．现记录了每名同学从用脚踢起毽子开始到毽子落地，脚踢到毽子的次数，已知男同学用脚踢到毽子次数的平均数为21，方差为17，女同学用脚踢到毽子次数的平均数为12，方差为17，那么全班同学用脚踢到毽子次数的平均数为________，方差为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分层随机抽样中有关计算的方法(1)抽样比＝样本容量n总样本量N＝该层抽取的个体数该层的个体数.(2)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本9/9 量为n，平均值为y，则样本的平均值为mx+nym+n.[跟进训练]2．(1)(多选)(2024·安徽合肥模拟)某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人．为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30．则下列说法正确的是(　　)A．如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人B．该校全体高三学生的身高均值为171C．抽取的样本的方差为44.08D．如果已知男、女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值(2)某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35.为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．考点三　统计图表[典例4]　(1)(2024·陕西西安模拟)某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度(单位：cm)均在区间[10，20]内，按照[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为(　　)9/9 A．20　　B．40　C．60　　D．88(2)(2024·四川绵阳模拟)睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10h，初中生应达到9h，高中生应达到8h”．某机构调查了1万名学生的时间并利用信息得出下图，则以下判断正确的有(　　)A．高三年级学生平均学习时间最长B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C．大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　几种统计图表的特点及使用方法(1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．9/9 (2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．(3)频率分布直方图的数据特点：①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．[跟进训练]3．(1)(多选)为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中正确的是(　　)A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多(2)(2024·四川南充模拟)一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了调查，制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量(单位：万件)的平均数情况条形图(如图)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递________9/9 万件．9/9