2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第9章　§9.1　随机抽样、统计图表

§9.1　随机抽样、统计图表考试要求　1.了解获取数据的基本途径.2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性．知识梳理1．总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量．2．简单随机抽样抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．3．分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．4．统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．(2)作频率分布直方图的步骤①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．常用结论1．利用比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可17 以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等．2．在比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝＋＝＋.3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关．(　×　)(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．(　√　)(3)在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　×　)(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　√　)教材改编题1．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是(　　)A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生B．样本是指1000名学生C．样本量指的是1000名学生D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生答案　C解析　对于C，样本量是1000，故C错误．2．为了了解我国某品牌手机的销售情况，小张在某网站上下载了如图所示的统计图．小张是通过________获取数据．答案　查询3．已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆．17 答案　80解析　速度在(70,80]内的频率为1－(0.01×10＋0.03×10＋0.04×10)＝0.2，所以在(70,80]内的频数为0.2×400＝80.故这400辆汽车中在该路段超速的有80辆.题型一　抽样方法例1　(1)总体由编号01,02，…，29,30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)第1行　78　16　62　32　08　02　6242　62　52　53　69　97　2801　98第2行　32　04　92　34　49　35　82　00　36　23　48　69　69　3874　81A．19B．25C．26D．27答案　B解析　由随机数表法可知，样本的前5个个体的编号分别为23,20,26,24,25，因此，选出的第5个个体的编号为25.(2)某社区为迎接中秋节，组织了隆重的庆祝活动，为全面了解社区居民的文娱喜好，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10∶13∶12，如果采用比例分配的分层随机抽样方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为(　　)A．20B．22C．24D．26答案　C解析　由比例分配的分层随机抽样的等比例关系，可得×70＝24.思维升华　(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．17 (2)在比例分配的分层随机抽样中，抽样比＝＝.跟踪训练1　(1)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”设计造型可爱，市场供不应求，某厂的三个车间在一个小时共生产450个冰墩墩，在出厂前要检查这批冰墩墩的质量，决定采用比例分配的分层随机抽样方法进行抽取，若从一、二、三车间中抽取的冰墩墩数量分别为a，b，c且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的冰墩墩的个数为(　　)A．200B．300C．120D．150答案　D解析　由题意可得a＋c＝2b，则第二车间生产的冰墩墩数量为×450＝×450＝150.(2)(2022·广州模拟)假设要考查某公司生产的500g袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行到第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954答案　068解析　根据随机数表可得，样本的前4个个体的编号依次为331,572,455,068.题型二　统计图表例2　(1)(多选)新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．17 根据所给统计图，下列结论中正确的是(　　)A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%答案　BC解析　每周都消费新式茶饮的消费者占比1－9.1%>90%，A错误；每天都消费新式茶饮的消费者占比5.4%＋16.4%>20%，B正确；月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比30.5%＋25.6%>50%，C正确；月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比1－14.5%－30.5%<60%，D错误．(2)(多选)我国人口老龄化加剧，出现劳动人口不断减少，生育率降低等问题．为了缓解人口压力，我国陆续开放二胎、三胎政策．为了解户籍和性别对生育多胎(二胎或三胎)选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人．绘制不同群体中倾向选择生育多胎与倾向选择不生育多胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育多胎的对应比例，则下列叙述中正确的是(　　)A．是否倾向选择生育多胎与户籍有关B．是否倾向选择生育多胎与性别有关C．倾向选择生育多胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数答案　AD解析　城镇户籍倾向选择生育多胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育多胎的比例为80%，故A正确；17 男性与女性倾向选择生育多胎的比例均为60%，故B错误；男性倾向选择生育多胎的比例为60%，人数为60×60%＝36，女性倾向选择生育多胎的比例为60%，人数为40×60%＝24，故C错误；倾向选择不生育多胎的人员中，农村户籍人数为50×(1－80%)＝10，城镇户籍人数为50×(1－40%)＝30，故D正确．思维升华　统计图表的主要应用扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；折线图：描述数据随时间的变化趋势；条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率．跟踪训练2　(1)已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是(　　)A．全国农产品夏季价格比冬季低B．全国农产品批发价格200指数2022年每个月逐渐增加C．2022年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数趋势基本保持一致D．2022年6月农产品批发价格200指数大于126答案　C解析　图中给的是批发价格200指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故A错误；全国农产品批发价格200指数2022年4～6月呈下降趋势，并未增加，故B错误；根据图中曲线的变化趋势可发现2022年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数趋势基本保持一致，故C正确；2022年6月农产品批发价格200指数在115附近，故D错误．(2)(多选)某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛．经统计，得到成绩排在前200名学生分布的扇形图(图1)和其中的高一学生排名分布的频率条形图(图2)．则下列命题正确的是(　　)17 A．成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多10B．成绩排在第1～50名的50人中，高一人数比高二的多C．成绩排在第51～150名的100人中，高三人数占比可能超过D．成绩排在第51～100名的50人中，高二人数肯定多于23答案　AC解析　对于A，成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多200×(30%－25%)＝10，故A正确；对于B，成绩排在第1～50名的50人中，高一人数为200×45%×20%＝18，高二和高三的总人数为50－18＝32，高二的具体人数不知道，故B错误；对于C，成绩排在第51～150名的100人中，高一人数为90×(0.3＋0.4)＝63，高二和高三的总人数为100－63＝37，所以高三人数占比有可能超过，故C正确；对于D，成绩排在第51～100名的50人中，高一学生人数为90×0.3＝27，高二人数最多有50－27＝23，故D不正确．题型三　频率分布直方图例3　下面是北方某城市2022年1～2月的日平均气温(单位：℃)的记录数据：－3　2　－4　－7　－11　－1　7　8　9　－6－14－18－15－9－6－105－4－9－6－8－12－16－19－15－22－25－24－19－8－6－15－11－12－19－25－24－18－17－14－22－13－9－60－15－4－9－32－4－4－175－6－517 (1)将数据适当分组，并画出相应的频率分布直方图；(2)试估计该城市2022年1～2月的日平均气温在0℃以下的天数所占的百分比．解　(1)经过统计可得频率分布表如下．分组频数频率[－25，－20)60.020[－20，－15)70.024[－15，－10)100.034[－10，－5)130.044[－5,0)120.041[0,5)40.013[5,10]70.024合计5910.2频率分布直方图为(2)该城市2022年1～2月的日平均气温在0℃以下的天数为48,2022年1～2月共有59天，所以该城市2022年1～2月的日平均气温在0℃以下的天数所占的百分比为×100%≈81%.思维升华　频率分布直方图的相关结论(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)频率分布直方图中纵轴表示，每组样本的频率为组距×，即小长方形的面积．(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．17 跟踪训练3　某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：(1)求分数在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？解　(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，可得(0.01＋0.015＋0.02＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分数在[70,80)内的频率为0.25，补全这个频率分布直方图，如图所示．(2)因为分数在区间[80,90)内的频率为0.25，在区间[90,100]内的频率为0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，所以设排名前10%的分界点为90－a，则0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界点为88分，即获奖的学生至少需要88分．课时精练1．下列情况中，适合用全面调查的是(　　)A．检查某人血液中的血脂含量B．调查某地区的空气质量状况17 C．乘客上飞机前的安检D．调查某市市民对垃圾分类处理的意识答案　C解析　乘客上飞机前的安检适合用全面调查，只有确认每一名乘客所携带的物品都安全才能保证航班安全．2．下列调查方式合适的是(　　)A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽样调查的方式D．为了了解一个寝室的学生(共5个人)每周体育锻炼的时间，采用抽样调查的方式答案　C解析　A项，采用普查的方式测试炮弹杀伤半径，成本较高，不适合，故错误；B项，采用普查的方式测试玉米的发芽率，较为烦琐且工作量较大，不适合，故错误；C项，抽样调查了解河流水质是正确的；D项，了解5个人的锻炼时间，适合采用普查，故错误．3．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00,01，…，38,39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是(　　)0347　4373　8636　9647　3661　4698　6371　6233　2616　8045　6011　1410A．36B．16C．11D．14答案　C解析　从题中所给的随机数表第一行第3列开始从左往右读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36,33,26,16,11.所以选出来的第5个零件编号是11.4．(2023·怀化模拟)从某中学随机抽取100名学生，将他们的身高数据(单位：cm)绘制成频率分布直方图，如图所示．若要从身高在[150,160)，[160,170)，[170,180]三组内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法选取16人参加一次活动．则从身高在[170,180]内的学生中选取的人数为(　　)A．3B．4C．5D．7答案　B17 解析　依题意，得(0.005＋0.015＋a＋0.035＋0.02)×10＝1，解得a＝0.025，身高在[150,160)，[160,170)，[170,180]三组内的学生比例为0.025∶0.035∶0.020＝5∶7∶4，用比例分配的分层随机抽样方法选取16人参加一次活动，则从身高在[170,180]内的学生中选取的人数应为16×＝4.5.(2022·济南模拟)某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，所占比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600,400,200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得的侧柏的棵数为(　　)A．34B．46C．50D．70答案　C解析　由扇形图知，购买的1200棵树苗中，侧柏的数量为1200×25%＝300，依题意，高一、高二、高三分得的侧柏的棵数之比为600∶400∶200＝3∶2∶1，所以高三年级应分得的侧柏的棵数为×300＝50.6．(多选)(2023·茂名模拟)某大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2022年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升．如图，下列说法正确的是(　　)A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%17 答案　ABC解析　A项，博士毕业生选择在北京就业的比例达到52.1%，超过一半，A正确；B项，留在北京就业的人数博士生接近一半，而本科生与硕士生则明显低于一半，所以显然总人数超半数选择在北京以外的单位就业，B正确；C项，到四川省就业的硕士毕业生人数为2527×3.2%≈81，而到四川省就业的博士毕业生人数为1467×3.7%≈54，故硕士生更多，C正确；D项，图表中显示4.2%＋5.6%＋3.0%＝12.8%，然而本科生、硕士生、博士生人数并不是一样多，D错误．7．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形面积等于其他8个小长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为________．答案　40解析　设中间一个小长方形的面积为x，其他8个小长方形的面积和为x，根据频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，得x＋x＝1，则x＝，即中间一组的频率为，所以中间一组的频数为140×＝40.8.某汽车研究院现有300名研究员，他们的学历情况如图所示，该研究院今年计划招聘一批新研究员，并决定不再招聘本科生，且使得招聘后本科生的比例下降到15%，硕士生的比例不变，则该研究院今年计划招聘的硕士生人数为________．答案　40解析　根据题意，设今年计划招聘的硕士生为x人，博士生为y人，又由现有研究员300人，其中本科生有300×20%＝60(人)，硕士生有300×40%＝120(人)，则有解得17 9．某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1～4月的手机销售总额是290万元．请根据图1、图2解答下列问题：图1图2(1)该手机店3月份的销售额为多少万元？(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元？(3)小刚观察图2后，认为四月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由．解　(1)由已知及图1得，3月份手机销售额为290－(85＋80＋65)＝60(万元)．(2)由图1及图2得，1月份音乐手机销售额为85×23%＝19.55(万元)．(3)不同意．由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为60×18%＝10.8(万元)，4月份音乐手机销售额为65×17%＝11.05(万元)，11.05>10.8，所以4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了，所以不同意小刚的看法．10．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并将数据分为[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]七组，其频率分布直方图如图所示．17 (1)求图中的x值；(2)根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在[98,100)内的样本数；(3)记产品尺寸在[98,102)内为A等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92,94)内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产3000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．解　(1)由(0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x)×2＝1，解得x＝0.12.(2)200件样本中尺寸在[98,100)内的样本数为200×0.09×2＝36.(3)由题意可得，这批产品中优等品有3000×(0.18＋0.20)＝1140(件)，这批产品中不合格品有3000×0.04＝120(件)，这批产品中合格品有3000－1140－120＝1740(件)，1140×5＋1740×3－120×2＝10680(元)．所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为10680元，因为10680<11000，所以需要对该工厂设备实施升级改造．11．为了研究人们生活健康情况，某市随机选取年龄在15～75岁之间的1000人进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中＝，利用比例分配的分层随机抽样方法从年龄在[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]之间共选取20名市民书写生活健康的报告，其中选取年龄在[35,45)内的市民人数为(　　)17 A．2B．3C．4D．7答案　D解析　由已知及频率分布直方图得解得a＝0.035，b＝0.015，所以选取年龄在[35,45)内的市民人数为0.035×10×20＝7.12．工业生产者出厂价格指数(PPI)是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度．根据下面提供的我国2020年1月－2021年12月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是(　　)A．2020年各月的PPI在逐月增大B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月减小D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平答案　D解析　由图可看出，选项A，C指的是“环比”，2020年各月不是逐月增大，2021年也不是逐月减小，故A，C错误；选项B，D是指“同比”，由于2021年1～12月同比增长线均在0.0%的上方，所以2021年1～12月各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正确；而2020年1～12月同比增长线不均在0.0%的上方，故B错误．13．(多选)(2023·太原模拟)2022年举办的北京冬奥会促进了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场进一步增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次(单位：万人次)与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是(　　)17 A．2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加B．2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C．2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D．2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%答案　ABD解析　A项，由统计图可知，2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，所以A项正确；B项，由统计图可知2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，所以B项正确；C项，2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，2021年同比增长人数为1970－1750＝220,2016年同比增长人数为900－800＝100，显然不近似相等，所以C项不正确；D项，2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率为≈30.5%，所以D项正确．14．某地各项事业取得令人瞩目的成就，以2022年为例，社会固定资产总投资约为3730亿元，其中包括中央项目、省属项目、地(市)属项目、县(市)属项目和其他项目．图1、图2分别是这五个项目的投资额不完整的条形图和扇形图，请完成下列问题．17 (1)地(市)属项目投资额为________亿元；(2)在图2中，县(市)属项目部分所占百分比为m%，对应的圆心角为β，则m＝________，β＝________度(m，β均取整数)．答案　(1)830　(2)18　65解析　(1)因为该地社会固定资产总投资约为3730亿元，所以地(市)属项目投资额为3730－(200＋530＋670＋1500)＝830(亿元)．(2)由条形图可以看出县(市)属项目部分总投资为670亿元，所以县(市)属项目部分所占百分比为m%＝×100%≈18%，即m＝18，对应的圆心角为β≈360度×0.18≈65(度)．17