2025年高考数学一轮讲义第8章 第11课时　圆锥曲线中的证明、探索性问题

第11课时　圆锥曲线中的证明、探索性问题考点一　证明问题　证明位置关系[典例1]　(2023·北京卷)已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为53，A，C分别为E的上、下顶点，B，D分别为E的左、右顶点，|AC|＝4.(1)求E的方程；(2)点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.[思维流程]　[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明数量关系[典例2]　已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝12x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(－1，0)对称．(1)求E和Γ的标准方程；(2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求证：|CD|＞2|AB|.[思维流程]　[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圆锥曲线中的常见证明问题(1)位置关系：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．(2)数量关系：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明．[跟进训练]1．在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，离心率为12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点F的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为M，分别过点A，B作C的切线l1，l2，且l1与l2交于点P，证明：O，P，M三点共线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．已知圆M：(x＋2)2＋y2＝274的圆心为M，圆N：(x－2)2＋y2＝34的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知定点P32，0，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明：∠APN＝∠BPN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　探索性问题[典例3]　已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，椭圆C1的上顶点与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点F重合，且抛物线C2经过点P(2，1)，O为坐标原点．(1)求椭圆C1和抛物线C2的标准方程；3/3 (2)已知直线l：y＝kx＋m与抛物线C2交于A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点，若直线PF平分∠APB，四边形OCPD能否为平行四边形？若能，求实数m的值；若不能，请说明理由．[思维流程][听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　肯定顺推法求解存在性问题先假设满足条件的元素(点、直线、曲线、参数等)存在，用待定系数法设出，并列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线、参数等)存在；否则，元素(点、直线、曲线、参数等)不存在．[跟进训练]3．(2023·福建厦门一模)已知椭圆Γ：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，其左焦点为F1(－2，0)．(1)求Γ的方程；(2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3