2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题

§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题题型一　探索性问题例1　(2023·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)依题意结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，c＝2.所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)．设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点．当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是|MF|＝|QF|＝3，所以t＝－1.即M(－1,0)．当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－，tan∠QMF＝kQM＝.因为∠QFM＝2∠QMF，所以－＝.将y＝3x－3代入并整理得9 －2x＋(4＋2t)x0－4t＝－2x－2tx0＋t2＋3，所以解得t＝－1.即M(－1,0)．综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．思维升华　存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1　(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．解　(1)由题意得，因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，由抛物线的定义，得m＋＝2，则解得所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)由(1)得M(2,1)，设点A，B，则kMA＝，kMB＝，所以kMAkMB＝×＝－2，得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；设直线AB方程为y＝kx＋b，由得x2－4kx－4b＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，9 即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2,9)，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，此时k＝－＝，所以直线AB的方程为y＝x＋10.题型二　圆锥曲线的综合问题例2　(2023·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝.(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解　(1)由题意知，a＝4，＝，所以c＝2，所以b＝＝2，p＝4.所以抛物线C1的方程为y2＝8x，椭圆C2的方程为＋＝1.(2)由题设知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋4.则联立得y2－8my－32＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.所以＝9 ＝＝＝，因为直线OC的斜率为＝＝，所以直线OC的方程为y＝x.由得y2＝1，则y＝1，同理可得y＝1，所以y·y＝1，所以y·y＝，要使S1∶S2＝3∶13，只需＝2，解得m＝±1，所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．思维升华　圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有·＝0.跟踪训练2如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．(1)求抛物线E的方程；(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值．解　(1)当直线AB的斜率不存在时，此时A，B，∴|AB|＝2p，9 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k，联立抛物线方程得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝＝＋p，此时|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p>2p，显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，则直线OA的方程：y＝x，直线OB的方程：y＝x，由(1)知，x1x2＝，∴y1y2＝－2p＝－4，∴y3＝，y4＝＝＝4y1，设圆心M(x0，y0)，则y0＝＝2y1－.若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，则x0＝.由|MD|＝|MG|，得(x0＋4)2＋(y0－y4)2＝(x0－t)2＋y，∴4t＋4m＋80＝－tm，由于t≠－4，∴m＝也为定值．∴H也为定点．若t＝－8，则m＝12，S＝|FH||y1－y2|＝|y1－y2|＝≥×4＝22，当且仅当y1＝±2时取到最小值．故△ABH的面积的最小值为22.课时精练1．(2023·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为.9 (1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．解　(1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设满足条件的直线l存在，由E(0，－2)，F(，0)，得kEF＝，因为点F为△EAB的垂心，所以AB⊥EF，所以kAB＝－，设直线l的方程为y＝－x＋t，代入＋＝1，得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)＝－96t2＋672>0，即－<t<.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AF⊥BE得·＝－1，所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0，将y1＝－x1＋t，y2＝－x2＋t代入上式，得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0，9 所以5t2＋t－18＝0，解得t＝(t＝－2舍去)，满足Δ>0，所以直线l的方程为y＝－x＋.2．(2022·苏州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为.设点M(m,0)(m≠0，m≠±a)是x轴上的定点，直线l：x＝，设过点M的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B在直线l上的射影分别为A′，B′.(1)求椭圆C的方程；(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解　(1)由题意可知b＝1，＝，又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝1，c＝.∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)当直线AB的斜率为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，A′，B′均为，则|AA′|·|BB′|＝·＝＝＝，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，联立方程组消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ>0时，x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AA′|·|BB′|＝·＝＝＝.综上，|AA′|·|BB′|为定值.9 3．(2023·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．解　(1)设过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋＝0，若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.(2)设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，即x＝＋x0，代入y2＝4x，整理得ky2－4y＋4y0－ky＝0，因为此直线与抛物线相切，所以Δ＝4(4－4ky0＋k2y)＝0，即(ky0－2)2＝0，解得k＝，所以过A的切线为y－y0＝(x－x0)，令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF为菱形．4.如图，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，准线l与y轴交于点S.(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若直线y＝kx＋b与抛物线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，若点S关于直线PQ的对称点为T，求|FT|的取值范围．解　(1)由∠BFD＝90°知，|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，9 设A(xA，yA)，则yA＋＝|FA|＝|FD|＝p，S△ABD＝·|BD|·＝×2p×p＝4，解得p＝2(负值舍去)．F(0,1)，所以圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)由题意得，直线PQ的斜率一定存在，其中S，设S关于直线PQ的对称点为T(m，n)，则解得联立y＝kx＋b与x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2pb，则y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，则x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝－2pb(1＋k2)＋2pk2b＋b2＝－2pb＋b2＝0，解得b＝0(此时O与P或Q重合，舍去)或b＝2p，所以|FT|＝＝p∈(p,4p]．9