第八章　§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题

§8.13圆锥曲线中探索性与综合性问题第八章直线和圆、圆锥曲线成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 题型一探索性问题(1)求双曲线C的标准方程； (2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件.由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点.当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是|MF|＝|QF|＝3，所以t＝－1.即M(－1,0). 因为∠QFM＝2∠QMF， 解得t＝－1.即M(－1,0).综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0). 思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意. 跟踪训练1(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程； 由题意得，因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y. (2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由. 由(1)得M(2,1)，得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；设直线AB方程为y＝kx＋b， 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2,9)，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切， 题型二圆锥曲线的综合问题(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程； 所以抛物线C1的方程为y2＝8x， (2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 由题设知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋4.得y2－8my－32＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32. 要使S1∶S2＝3∶13，解得m＝±1，所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件. 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有＝0. 跟踪训练2如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点).(1)求抛物线E的方程； Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0， 显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x. (2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值.并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，∴y1y2＝－2p＝－4， ∴4t＋4m＋80＝－tm，∴H也为定点. 当且仅当y1＝±2时取到最小值.故△ABH的面积的最小值为22. 课时精练 基础保分练(1)求椭圆C的方程；1234 1234 1234(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由. 假设满足条件的直线l存在，因为点F为△EAB的垂心，所以AB⊥EF，1234 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234 1234 1234满足Δ>0， (1)求椭圆C的方程；1234 又a2－b2＝c2，1234 1234(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，1234 消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，1234 1234 综合提升练12343.(2023·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程； 1234所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x. 1234(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由. 设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，1234 1234令y＝0得x＝－x0，即B(－x0，0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF为菱形. 拓展冲刺练4.如图，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，准线l与y轴交于点S.(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；1234 由∠BFD＝90°知，|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，设A(xA，yA)，解得p＝2(负值舍去).F(0,1)，所以圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.1234 (2)若直线y＝kx＋b与抛物线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，若点S关于直线PQ的对称点为T，求|FT|的取值范围.1234 由题意得，直线PQ的斜率一定存在，1234 联立y＝kx＋b与x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2pb，则y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，则x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝－2pb(1＋k2)＋2pk2b＋b2＝－2pb＋b2＝0，解得b＝0(此时O与P或Q重合，舍去)或b＝2p，1234 1234 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第八章直线和圆、圆锥曲线