2025年高考数学一轮讲义第8章 第10课时　圆锥曲线中的范围、最值问题

第10课时　圆锥曲线中的范围、最值问题考点一　范围问题[典例1]　已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A(1，0)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，|PO|＝2，点O为坐标原点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点B，设直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．[思维流程][听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．提醒：判别式Δ＞0的两种处理策略：要么解出来，要么验证时用．4/4 [跟进训练]1．设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C1：x24＋y2＝1交于不同的两点P，Q，若坐标原点O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　最值问题　利用函数性质求最值[典例2]　已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．[思维流程]　[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用不等式求最值[典例3]　(2024·广东揭阳模拟)已知椭圆C：y2a2+x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，点223，33在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点N(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点，求S△AOB的最大值．[思维流程]4/4 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　几何法求最值[典例4]　(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12.(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圆锥曲线中的最值问题的求解方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用函数的单调性求解．(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．(3)几何法：利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．[跟进训练]2．(2022·浙江高考)如图，已知椭圆x212＋y2＝1．设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q0，12在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－12x＋3于C，D两点．求：4/4 (1)点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)|CD|的最小值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4/4