2025年高考数学一轮讲义第6章 第5课时　数列的综合应用

第5课时　数列的综合应用考点一　数列模型的应用[典例1]　容器A内装有6L质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4L质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1L进入B内，再将B内的盐水倒1L进入A内，称为一次操作．这样反复操作n次，A，B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn.(1)求a1，b1，并证明{an－bn}是等比数列；(2)至少操作多少次，A，B两容器内的盐水浓度之差小于1%(取lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)；(3)求an，bn的表达式．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数列实际应用中的常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定且不为零的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或依次减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列．[跟进训练]1．(1)(2024·广东佛山模拟)某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1200，则c10大约为(　　)3/3 (参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853)A．1429　　　　B．1472C．1519　D．1571(2)(多选)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)刚考入大学的小明准备向银行贷款A0元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为r.设小明每个月所要还款的钱数为x元，则下列说法正确的是(　　)A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法”C．小明第一个月还款的现值为x1+r元D．x＝A0r1+r121+r12-1考点二　数列中的不等式证明[典例2]　已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，4Sn＝anan＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列1an2的前n项和为Tn，求证：n4n+4＜Tn＜12.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与数列有关的不等式证明问题的求解常有两种方法：一是放缩法；二是借助函数的单调性证明．(1)对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式；若不能求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式．放缩时要研究通项，放缩是为了能化简．(2)常见的放缩技巧：①1k2＜1k2-1＝121k-1-1k+1；②1k-1k+1＜1k2＜1k-1-1k；③2(n+1-n)＜1n＜2(n-n-1)；3/3 ④12n+1＜12n+1＜12n，13n＜13n-1≤12·3n-1.[跟进训练]2．(2024·山西大同模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋2＝2an(n∈N*)．(1)证明：数列{Sn＋2}是等比数列；(2)设数列2nan-1an+1-1的前n项和为Tn，求证：23≤Tn<1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　数列中的不等式恒成立[典例3]　(2021·浙江高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－94，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数列与不等式的恒成立的问题可借助数列的单调性或转化为函数的最值问题解答．[跟进训练]3．(2024·湖南长沙雅礼中学模拟)各项不为零的数列{an}满足an＝an-13an-1+1(n≥2，n∈N*)，且a2＝－1.(1)求证：数列1an为等差数列；(2)若an+1an≥λ对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3/3