2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.8　空间距离及立体几何中的探索问题

§7.8空间距离及立体几何中的探索问题第七章立体几何与空间向量 1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.点到直线的距离 2.点到平面的距离 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度.()(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.()(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.()×√×× 1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为√ 3.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是______. 如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，令x＝1，则n＝(1，－1，－1)， 探究核心题型第二部分 题型一空间距离例1(1)(2023·长沙模拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，则点P到直线MN的距离为√ ①证明：BC1⊥CM； 因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，所以AB⊥C1B，因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.又因为CM⊂平面ABC，所以C1B⊥CM. ②若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离. 由①知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)， (1)点到直线的距离.思维升华②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．(2)求点面距一般有以下三种方法．①作点到面的垂线，求点到垂足的距离；②等体积法；③向量法. 跟踪训练1(1)(2023·枣庄模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为_____． 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D1(0,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，∴点D1到直线GF的距离 (2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．①证明：D1E⊥A1D； 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AE＝x，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)． ②当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离． 题型二立体几何中的探索性问题例2(2022·常德模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点．(1)求证：AC⊥平面A1BO； ∵△ABC是等边三角形，O是AC的中点，∴AC⊥OB，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，∴A1B⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB⊂平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO. 存在，线段CC1的中点P满足题意．理由如下：∵A1B⊥平面ABC，OB⊥AC，以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴、y轴，过点O作Oz∥A1B，以Oz所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知平面A1OB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设平面POB的法向量为m＝(x，y，z)， (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数． (1)求证：AC⊥SD； 如图，连接BD交AC于点O，连接SO.由题意知，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设底面边长为a， 故OC⊥SD，从而AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小； 设平面PAC与平面DAC的夹角为θ，所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°. (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由． 假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC. 由于BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1. 课时精练第三部分 123456基础保分练1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．(1)求点N到直线AB的距离； 123456∵N是CC1的中点，∴N(0,4,2)．设点N到直线AB的距离为d1， 123456(2)求点C1到平面ABN的距离． 123456设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)，设点C1到平面ABN的距离为d2， 123456 2.(2023·北京模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点.123456(1)求证：BM⊥AB1； 123456∵AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，设A1M＝a，a∈[0,1]，则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,1)，M(0，a,1)， 123456 123456设平面BCM的法向量n＝(x，y，z)，取x＝1，得n＝(1,1,1－a)， 123456 1234563.已知空间几何体ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD. 123456∵△ABC，△ECD是全等的正三角形，∴CD＝BC，∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，∴BC⊥平面ECD，∵DE⊂平面ECD，∴BC⊥ED. 123456(2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由. 123456A，B，D，E四点共面.理由如下，如图，分别取BC，DC的中点M，N，连接AM，EN，MN，∵△ABC是等边三角形，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AM⊥平面BCD， 123456∴AM∥EN，且AM＝EN，∴四边形AMNE是矩形，∴AE∥MN，又MN∥BD，∴AE∥BD，∴A，B，D，E四点共面. 1234564.如图所示，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点.(1)求证：平面BEF⊥平面PAC； 123456∵△ABC是正三角形，E为AC的中点，∴BE⊥AC.又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC.∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC. 123456 123456存在.由(1)及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，∵点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直.以E为坐标原点，以EB，EC，EF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 123456设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 123456 5.(2022·北京模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.(1)求证：AB∥平面PCD；123456综合提升练∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PDC. 123456(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值； 123456∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3，∵平面PBC⊥平面ABCD，∴点P到平面ABCD的距离为2.以D为原点，以DA，DC及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系(图略).∴A(4,0,0)，B(4,5,0)，C(0,3,0)，P(2,4,2)， 123456设平面APB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 123456令x1＝1，x2＝1可得m＝(1,0,1)，n＝(1，－2,0)，设平面APB与平面PBC的夹角为θ， 123456 123456由(2)知平面PBA的一个法向量为m＝(1,0,1)， 123456 123456拓展冲刺练6.(2023·盐城模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BD和BB1的中点，P为棱C1D1上的动点.(1)是否存在点P，使得PE⊥平面EFC？若存在，求出满足条件时C1P的长度并证明；若不存在，请说明理由； 123456建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意设点P(0，t,2)，0≤t≤2，则E(1,1,0)，F(2,2,1)，C(0,2,0)，设平面CEF的法向量为m＝(x，y，z)， 123456∴m＝(1,1，－2)，若存在满足题意的点P， 123456(2)当C1P为何值时，平面BCC1B1与平面PEF夹角的正弦值最小. 易知平面BCC1B1的法向量为n＝(0,1,0)，设平面PEF的法向量为r＝(x0，y0，z0)，123456 设平面BCC1B1与平面PEF的夹角为θ，123456