第七章　§7.8　空间距离及立体几何中的探索问题

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§7.8　空间距离及立体几何中的探索问题考试要求　1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．知识梳理1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(　×　)(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．(　×　)(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(　√　)(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(　×　)教材改编题1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A.B．2C.D.答案　A解析　由正方体性质可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离，连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1的长即为所求，由题意可得A1O1＝A1C1＝.2．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________．答案　解析　∵＝(－2,0，－1)，n＝为l的一个单位方向向量，∴点P到l的距离d＝＝＝.3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．答案　解析　如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，所以＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝.题型一　空间距离成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期例1　(1)(2023·长沙模拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，则点P到直线MN的距离为(　　)A．2B．2C．3D．2答案　A解析　因为＝(1,1,1)，所以的一个单位方向向量为u＝(1,1,1)．因为＝(1，－1,3)，故||＝＝，·u＝(1－1＋3)＝，所以点P到直线MN的距离为＝＝2.(2)(2022·济宁模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝AB＝AA1＝2，BC1＝2，M为线段AB上的动点．①证明：BC1⊥CM；②若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离．①证明　因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，所以AB⊥C1B，在△BCC1中，BC＝2，BC1＝2，CC1＝AA1＝4，所以BC2＋BC＝CC，所以CB⊥C1B.因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.又因为CM⊂平面ABC，所以C1B⊥CM.②解　由①知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0,0,0)，C(2,0,0)，C1(0,2，0)，A1(－2，2，4)，E(－1,2，2)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝(2,0,0),＝(－1,2，2)，设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝，则n＝(0，，－3)．又因为＝(4，－2，－4)，故点A1到平面BCE的距离d＝＝.思维升华　(1)点到直线的距离．①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝；②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．(2)求点面距一般有以下三种方法．①作点到面的垂线，求点到垂足的距离；②等体积法；③向量法.跟踪训练1　(1)(2023·枣庄模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为________．答案　解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D1(0,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，＝(－1，－1,2)，＝(－1,1,1)，∴点D1到直线GF的距离d＝＝＝.又||＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴＝××＝.(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．①证明：D1E⊥A1D；②当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离．①证明　以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AE＝x，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)．＝(1，x，－1)，＝(－1,0，－1)，因为·＝0，所以⊥，即D1E⊥A1D.②解　因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而＝(1,1，－1)，＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n＝(a，b，c)，则即得从而可取n＝(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离d＝＝＝.题型二　立体几何中的探索性问题例2　(2022·常德模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点．(1)求证：AC⊥平面A1BO；(2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由．(1)证明　∵△ABC是等边三角形，O是AC的中点，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴AC⊥OB，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，∴A1B⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB⊂平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO.(2)解　存在，线段CC1的中点P满足题意．理由如下：∵A1B⊥平面ABC，OB⊥AC，以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴、y轴，过点O作Oz∥A1B，以Oz所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，A(1,0,0)，A1(0，，2)，＝(0，，0)，＝(－1，，2)，设＝t＝t＝(－t，t,2t)，0≤t≤1，则＝＋＝(－1－t，t,2t)，易知平面A1OB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设平面POB的法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝2t，则m＝(2t,0，t＋1)，由题意得|cos〈n，m〉|＝＝＝，∵0≤t≤1，∴解得t＝＝，∴线段CC1上存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，此时＝.思维升华　(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．跟踪训练2　如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由．(1)证明　如图，连接BD交AC于点O，连接SO.由题意知，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，C.于是＝，＝.则·＝0，所以⊥，故OC⊥SD，从而AC⊥SD.(2)解　由题设知，平面PAC的一个法向量为＝，平面DAC的一个法向量为＝.设平面PAC与平面DAC的夹角为θ，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝，所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°.(3)解　假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝.设＝t(0≤t≤1)，因为B，C，所以＝，则＝＋＝＋t＝.由·＝0，得－＋0＋a2t＝0，解得t＝，当SE∶EC＝2∶1时，⊥.由于BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1.课时精练1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离．解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,4)，∵N是CC1的中点，∴N(0,4,2)．(1)＝(0,4,2)，＝(2，2,0)，则||＝2，||＝4.设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝＝＝4.(2)设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥，n⊥，得令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝.易知＝(0,0，－2)，设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝＝＝.2．(2023·北京模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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