全国版2023高考数学一轮复习第8章立体几何第5讲空间角与距离空间向量及应用试题1理含解析20230316191.docx

第八章　立体几何第五讲　空间角与距离、空间向量及应用练好题·考点自测1.[2020安徽省阜阳市模拟]在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则(　　)A.2x+y+z=1B.x+y+z=0C.x-y+z=-4D.x+y-z=02.[广东高考,5分][理]已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)3.下列说法正确的是(　　)A.直线的方向向量是唯一确定的B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥αC.若两平面的法向量平行,则两平面平行D.若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直,则a∥α4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的一个法向量的是(　　)A.(-1,1,1)　B.(1,-1,1)C.(-33,-33,-33)D.(33,33,-33)5.[2020四川五校联考]已知四面体ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,△ABD是边长为2的等边三角形,BD=DC,BD⊥CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)A.24B.23C.12D.346.[2019全国卷Ⅰ,16,5分]已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为　　　　. 7.[2020天津,17,15分]如图8-5-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.第8页共8页,图8-5-1(Ⅰ)求证:C1M⊥B1D.(Ⅱ)求二面角B-B1E-D的正弦值.(Ⅲ)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.拓展变式1.[2020山东,20,12分]如图8-5-10,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平图8-5-10面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC.(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.2.[2020全国卷Ⅲ,19,12分][理]如图8-5-14,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内.(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.3.[2021山东新高考模拟]如图8-5-23,将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,其中OA=1,OO1=2,A1B1的长为π6,AB为☉O的直径.(1)在AB上是否存在点C(C,B1在平面OAA1O1的同侧),使得BC⊥AB1,若存在,请确定其位置;若不存在,请说明理由.(2)求二面角A1-O1B-B1的余弦值.第8页共8页,图8-5-234.[2021河北省六校第一次联考]如图8-5-27(1),在Rt△ABC中,B为直角,AB=BC=6,EF∥BC,AE=2,沿EF将△AEF折起,使∠AEB=π3,得到如图8-5-27(2)所示的几何体,点D在线段AC上.图8-5-27(1)求证:平面AEF⊥平面ABC.(2)若AE∥平面BDF,求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.答案第五讲　空间角与距离、空间向量及应用1.A　由题意可得AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).∵A,B,C,D四点共面,∴存在实数λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),∴x-1=-2μ,y-1=λ+2μ,z+2=-λ+2μ,解得2x+y+z=1,故选A.2.B　设选项中的向量与a的夹角为θ,对于选项A,由于cosθ=1×(-1)+0×1+(-1)×012+02+(-1)2×(-1)2+12+02=-12,此时夹角θ为120°,不满足题意;同理可知选项C,D不满足题意;对于选项B,由于cosθ=1×1+0×(-1)+(-1)×012+02+(-1)2×12+(-1)2+02=12,此时夹角θ为60°,满足题意.故选B.3.C　A中,直线的方向向量不是唯一的,有无数多个,故A错误;B中,由条件得a⊥α,故B错误;D中,由条件得,a∥α或a⊂α,故D错误.易知C正确,选C.第8页共8页,4.C　由题意,得AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则n·AB=0,n·AC=0,即-x+y=0,-x+z=0,可得x=y=z.故选C.5.A　由题意知CD⊥平面ABD.以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立如图D8-5-1所示的空间直角坐标系,则A(0,1,3),C(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,0),AC=(2,-1,-3),BD=(0,-2,0),设异面直线AC与BD所成的角为α,则cosα=|AC·BD||AC|·|BD|=24,所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为24,故选A.图D8-5-16.2　如图D8-5-2,过点P分别作PE⊥BC交BC于点E,作PF⊥AC交AC于点F.由题意知PE=PF=3.过P作PH⊥平面ABC于点H,连接HE,HF,HC,易知HE=HF,则易得点H在∠ACB的平分线上,又∠ACB=90°,故△CEH为等腰直角三角形.在Rt△PCE中,PC=2,PE=3,则CE=1,故CH=2,在Rt△PCH中,可得PH=2,即点P到平面ABC的距离为2.图D8-5-27.依题意,以C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图D8-5-3),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(Ⅰ)依题意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1M·B1D=2-2+0=0,所以C1M⊥B1D.(Ⅱ)依题意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).第8页共8页,设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则n·EB1=0,n·ED=0,即2y+z=0,2x-z=0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos