2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　必刷大题6　导数的综合问题

必刷大题6导数的综合问题第三章一元函数的导数及其应用 1.(2023·温州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)lnx.(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；12345 f(x)的定义域为(0，＋∞)，12345 12345(2)若f(x)≥(a2－a)lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围. 由f(x)≥(a2－a)lnx对∀x∈(1，＋∞)恒成立，12345 2.设f(x)＝2xlnx＋1.(1)求f(x)的最小值；f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋1)，12345 12345 12345 12345所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以当0<x<1时，g(x)<0，F(x)>0当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，当x＝1时，F(x)＝0， 123453.(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕.冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步.当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件.(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式； 12345由题意，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]. 12345(2)求出f(x)的最大值Q(a). ∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，12345 则f′(x)≥0，即f(x)在[13,17]上单调递增，∴f(x)max＝f(17)＝12－a，12345 4.(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝x2＋2x－，a∈R.(1)当a＝4时，求f(x)的极值；故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，12345 12345(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点，求a的取值范围. ①当a＝0时，g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合题意；②当a<0时，g(x)在(0,4]上单调递增，g(2)＝4＋(2－a)×2>0，x→0时，g(x)<0，由零点存在定理得，g(x)在(0,4]内只有一个零点，即曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点.12345 若a≥8，则g(x)在(0,4]上单调递减，当x→0时，g(x)>0，综上，a的取值范围为(－∞，0)∪{4}∪[8，＋∞).12345 5.(2023·济宁质检)已知函数f(x)＝acosx＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.(1)求实数a，b的值；因为f′(x)＝－asinx＋bex，12345 12345 所以f′(x)＝－sinx－ex，设g(x)＝－sinx－ex，g′(x)＝－cosx－ex＝－(cosx＋ex).所以g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，－1≤cosx≤1，ex>1，所以g′(x)<0.12345 因为>e>2，所以<，12345 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.由题意知，c≥f(x0)，所以整数c的最小值为1.12345