2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.2　函数的单调性与最值

§2.2函数的单调性与最值第二章函　数 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2) 图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增单调递减 2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有；(2)∃x0∈D，使得_________(1)∀x∈D，都有；(2)∃x0∈D，使得_________结论M为f(x)的最大值M为f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M 1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数.()(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3).()(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.()×××× 1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是A.y＝x2－1B.y＝x3C.y＝2xD.y＝－x＋2√ √ 3.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f的x的取值范围是________. ∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， 探究核心题型第二部分 题型一确定函数的单调性命题点1函数单调性的判断例1(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝ex－e－xB.y＝|x2－2x|√√ ∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；对于选项C，y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； 命题点2利用定义证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性. 方法一设－1<x1<x2<1，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增. 确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法.思维升华 跟踪训练1(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为√ (2)函数f(x)＝的单调递增区间是A.[－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)√f(x)＝分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数单调性得到函数f(x)＝在(－∞，－1)上单调递增. 题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b√ ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，∵f(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，∴，∴，即a<c<b. 命题点2求函数的最值y＝ln(4－x)在[1,3]上单调递减，∴f(x)在[1,3]上单调递增， 命题点3解函数不等式f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，(0,1)解得0<a<1. 命题点4求参数的取值范围例6已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是√ (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. √ 函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在R上单调递增，因为f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)， [1,2)∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 课时精练第三部分 1.下列函数在R上为增函数的是A.y＝x2B.y＝x1234567891011121314基础保分练√ 1234567891011121314y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；y＝x在R上为增函数，故选项B正确； 2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[0,2]D.[0，＋∞)∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).1234567891011121314√ A.(－∞，3]B.(2,3)C.(2,3]D.[3，＋∞)1234567891011121314√ 1234567891011121314∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴f(x)∈(2,3]. 1234567891011121314A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)√ 1234567891011121314因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增.又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c). 1234567891011121314A.f(x)在R上为增函数B.f(e)>f(2)C.若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D.当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]√√ 1234567891011121314易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误. 12345678910111213146.(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是A.当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.当a>0时，f(x)的值域为R√√√ 1234567891011121314定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；由其图象(图略)可知，B，C正确. 7.函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是__________________.1234567891011121314(－∞，－3]，[0,3] 1234567891011121314当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]， 8.已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是________________________1234567891011121314f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)_____________________________________________________. 由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题.1234567891011121314 9.已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；1234567891011121314函数图象如图所示. (2)写出函数f(x)的单调递减区间.1234567891011121314由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4). 10.已知函数f(x)＝a－.(1)求f(0)的值；1234567891011121314 (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论.1234567891011121314 1234567891011121314f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴， 1234567891011121314∴<0,＋1>0,＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增. 11.若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(0,2]D.[2，＋∞)1234567891011121314综合提升练√ 1234567891011121314在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝lnu在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，所以实数a的取值范围为[2，＋∞). 12.设函数f(x)＝x2022－＋5，则f(x)的单调递增区间为__________，不等式f(x－1)<5的解集为____________.1234567891011121314(0,1)∪(1,2)(0，＋∞) 由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)＝x2022－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减.又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2.1234567891011121314 13.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是A.y＝f(x)＋x是增函数B.y＝f(x)＋x是减函数C.y＝f(x)是增函数D.y＝f(x)是减函数1234567891011121314拓展冲刺练√ 1234567891011121314不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数. 14.(2022·贵阳模拟)若a＝ln3，b＝lg5，c＝log126，则A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b1234567891011121314√ 1234567891011121314∵a＝ln3>lne＝1，b＝lg5<lg10＝1，c＝log126<log1212＝1，∴a>b，a>c，显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵0<log25<log26，∴f(log25)<f(log26)，即lg5<log126，∴a>c>b.