2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.2　函数的单调性与最值

§2.2　函数的单调性与最值考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为f(x)的最大值M为f(x)的最小值常用结论1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．11 4．复合函数的单调性：同增异减．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．(　×　)(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　×　)(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　×　)(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)教材改编题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)A．y＝x2－1B．y＝x3C．y＝2xD．y＝－x＋2答案　D2．y＝在[3,4]上的最大值为(　　)A．2B.C.D．4答案　A解析　y＝＝＝＋1，∵y＝＋1在[3,4]上单调递减，∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________．答案　解析　∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，∴2x－1≥0，即x≥，又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，∴2x－1<，即x<，则x的取值范围为.11 题型一　确定函数的单调性命题点1　函数单调性的判断例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．y＝ex－e－xB．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosxD．y＝答案　AC解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；对于选项C，y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．命题点2　利用定义证明函数的单调性例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解　方法一　设－1<x1<x2<1，f(x)＝a＝a，f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．方法二　f′(x)＝＝＝－.当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．思维升华　确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)11 A.B.C．[1，＋∞)D.∪[1，＋∞)答案　B解析　g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为.(2)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　)A．[－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)答案　B解析　f(x)＝分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数单调性得到函数f(x)＝在(－∞，－1)上单调递增．题型二　函数单调性的应用命题点1　比较函数值的大小例3　(2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c<b<aB．a<c<bC．a<b<cD．c<a<b答案　B解析　∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，∵f(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，11 ∴，又0<ln <1，∴，∴，即a<c<b.命题点2　求函数的最值例4　函数f(x)＝－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为________．答案　解析　y＝＝x－在[1,3]上单调递增，y＝ln(4－x)在[1,3]上单调递减，∴f(x)在[1,3]上单调递增，∴f(x)max＝f(3)＝－0＝.命题点3　解函数不等式例5　已知函数f(x)＝x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．答案　(0,1)解析　由f(x)＝x－log2(x＋2)知，f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，∴解得0<a<1.命题点4　求参数的取值范围例6　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C．(0,1)D．(0,1]答案　B解析　因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数，11 所以解得0<a≤，所以实数a的取值范围为.思维升华　(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．跟踪训练2　(1)(2023·兰州模拟)设函数f(x)＝则满足不等式f(2x－1)<2的解集是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在R上单调递增，因为f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)，故2x－1<4，即x<.(2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案　[1,2)解析　f(x)＝＝＝1＋，∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，∴⇒1≤a<2.11 课时精练1．下列函数在R上为增函数的是(　　)A．y＝x2B．y＝xC．y＝－D．y＝答案　B解析　y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；y＝x在R上为增函数，故选项B正确；y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误；y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误．2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　)A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[0,2]D．[0，＋∞)答案　B解析　∵y＝|x－2|＝∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．3．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　)A．(－∞，3]B．(2,3)C．(2,3]D．[3，＋∞)答案　C解析　f(x)＝＝2＋，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<≤1，∴f(x)∈(2,3]．4．(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　)A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b)D．f(c)>f(a)>f(b)11 答案　A解析　因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增．又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．5．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)A．f(x)在R上为增函数B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]答案　BC解析　易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．6．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．当a>0时，f(x)的值域为R答案　BCD解析　当a>0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故D正确；11 当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B，C正确．7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．答案　(－∞，－3]，[0,3]解析　由题意得函数f(x)＝当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]．8．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________．答案　f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可)解析　由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题．9．已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的单调递减区间．解　(1)f(x)＝x|x－4|＝函数图象如图所示．(2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)．10．已知函数f(x)＝a－.(1)求f(0)的值；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论．解　(1)f(0)＝a－＝a－1.11 (2)f(x)在R上单调递增．证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴，∴－<0,＋1>0,＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在R上单调递增．11．若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(0,2]D．[2，＋∞)答案　D解析　在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝lnu在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且∀x>1，ax－2>0，因此解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．12．设函数f(x)＝x2022－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________．答案　(0，＋∞)　(0,1)∪(1,2)解析　由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2022－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减．又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2.13．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　)A．y＝f(x)＋x是增函数B．y＝f(x)＋x是减函数11 C．y＝f(x)是增函数D．y＝f(x)是减函数答案　A解析　不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数．14．(2022·贵阳模拟)若a＝ln3，b＝lg5，c＝log126，则(　　)A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．a>c>b答案　D解析　∵a＝ln3>lne＝1，b＝lg5<lg10＝1，c＝log126<log1212＝1，∴a>b，a>c，∵lg5＝＝，log126＝＝，∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)，显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵0<log25<log26，∴f(log25)<f(log26)，即lg5<log126，∴a>c>b.11