2024年新高考数学一轮复习：第53讲 空间向量的概念（解析版）

第53讲空间向量的概念1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.(2)空间向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝1、在下列命题中： ①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3【答案】：　A【解析】：　a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2、已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)A.B.2C.D.1【答案】　A【解析】　因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝.又ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，即4k＋k－2－5＝0，所以k＝.3、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为(　　)A.共线B.共面C.不共面D.无法确定【答案】C【解析】＝(2，0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4).由不存在实数λ，使＝λ成立，知点A，B，C不共线，故点A，B，C，D不共线；假设点A，B，C，D共面，则可设＝x＋y(x，y为实数)，即由于该方程组无解，故点A，B，C，D不共面，故选C.4、已知向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，则“m⊥n”是“l∥α”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】由l∥α，得m⊥n，所以“m⊥n”是“l∥α”的必要条件；而由m⊥n不一定有l∥α，也可能l⊂α，故“m⊥n”不是“l∥α”的充分条件．故“m⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件．5、(2022·镇江高三开学考试)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是(　　)A.B.C.3D.【答案】D【解析】因为＝＋＝＋＝＋＋，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，所以()2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2||×||×cos60°＋2||×||×cos60°＋2||×||×cos60°＝1＋1＋4＋2×＋2×2×＋2×2×＝11，所以||＝，即线段A1C的长度是.考向一　空间向量的线性运算例1、(1)已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论中正确的是________；(填序号)①a∥b，a∥c;②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b.【解析】因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.【答案】③(2)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________．【解析】因为a∥b，所以－x＝4，即x＝－4.【答案】－4（3）在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量，，表示，.【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝＋[(＋)－]＝－＋＋. ＝＋＝－＋＋＝＋＋.变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则向量＝(用a，b，c表示)．【答案】：－a＋b＋c【解析】：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．（2）如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝(用a，b，c表示)．【答案】：a＋b＋c【解析】：＝＋＝＋＋＝a＋b＋c．变式2、(多选)(2022·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)A.＝b－c B.＝b＋c－aC.＝b－c－aD.＝a＋b＋c【答案】　BD【解析】对于A，利用向量的平行四边形法则，＝＋＝b＋c，A错误；对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得＝－＝－＝－＝＋－＝b＋c－a，B正确；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝＝b＋c－a，C错误；对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D正确.方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算.用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考向二共线、共面向量定理的应用例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋).【解析】(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理的推论，得E，F，G，H四点共面．(2)因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH.(3)任取一点O，连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)，知＝，同理＝，所以＝，即EH与FG平行且相等，所以四边形EFGH是平行四边形，所以EG，FH交于一点M，且被点M平分．故＝(＋)＝＋＝＋＝(＋＋＋).变式1、(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是(　　)A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B.若，共线，则AB∥CDC.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件【答案】　CD【解析】　由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(＋)，即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确. 变式2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋).(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】　(1)由题知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－，∴，，共面.(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.变式3、.如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．判断向量是否与向量，共面．【解析】∵＝k，＝k，∴＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，∴由共面向量定理知向量与向量，共面．方法总结：证明空间三点P，A，B共线的方法有：①＝λ(λ∈R)；②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).证明空间四点P，M，A，B共面的方法有：①＝x＋y；②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；③∥(或∥或∥).三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．考向三空间向量数量积的应用例3、　如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．【解析】：(1)记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝．||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，∴||＝，即AC1的长为．(2)∵＝a＋b＋c，＝b－a，∴·＝(a＋b＋c)(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0．∴⊥，∴AC1⊥BD．(3)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．∴cos〈，〉＝＝．∴AC与BD1夹角的余弦值为．方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.利用夹角公式，可以求异面直线所成的角， 也可以求二面角.可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想考向四利用空间向量证明平行或垂直例4　如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.证明　因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，所以E(0，0，0)，C(，0，0)，A(0，2，0)，B(－，0，0)，B1(－，0，2)，A1(0，2，)，则F.(1)＝，＝(－，－2，0)，＝(0，0，).设平面A1B1BA的一个法向量为n＝(x，y，z)，则所以取所以n＝(－2，，0).因为·n＝×(－2)＋1×＋×0＝0，所以⊥n.又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)因为EC⊥平面AEA1，所以＝(，0，0)为平面AEA1的一个法向量.又EA⊥平面BCB1，所以＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.因为·＝0，所以⊥， 故平面AEA1⊥平面BCB1.变式1、在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．求证：(1)BM∥平面D1AC；(2)D1O⊥平面AB1C.【解析】(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1，1，0)，D1(0，0，)，B(2，2，0)，M(1，1，)，所以＝(－1，－1，)，＝(－1，－1，)，所以＝.又因为OD1与BM不共线，所以OD1∥BM.又OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，所以BM∥平面D1AC.(2)连接OB1，点B1(2，2，)，A(2，0，0)，C(0，2，0).因为·＝(－1，－1，)·(1，1，)＝0，·＝(－1，－1，)·(－2，2，0)＝0，所以⊥，⊥，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC.又OB1∩AC＝O，OB1⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以D1O⊥平面AB1C.变式2、　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．求证：(1)EF∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PDC. 【解析】(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD.因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A，F，D，P，B，C.因为E为PC的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为＝.因为＝，且·＝·＝0，所以⊥，所以EF∥平面PAD.(2)因为＝，＝(0，－a，0)，所以·＝·(0，－a，0)＝0，所以⊥，所以PA⊥CD.又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，所以PA⊥平面PDC.又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC. 1、如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A.－a＋b＋cB.a＋b＋cC.－a－b＋cD.a－b＋c【答案】　A【解析】　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.2、已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.【答案】：　D【解析】：　∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选D.3、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有(　　)A．AP⊥ABB．AP⊥ADC.是平面ABCD的一个法向量D.∥【答案】ABC　【解析】对于A，·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C ，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．故选A、B、C.4、(多选)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)A．(＋＋)2＝3()2B.·(－)＝0C．向量与向量的夹角是60°D．正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|··|【答案】AB　【解析】由向量的加法得到：＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴()2＝3()2，所以A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故|··|＝0，因此D不正确．故选A、B.5、如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)A.(1，1，1)　　B.C.　　D.【答案】　C【解析】　设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO.又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)，由中点坐标公式，知点M的坐标.6、.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝________. 【答案】　【解析】　由题图知，设＝λ(0＜λ＜1)，由已知＝＋＋＝2＋3＋，所以＝2λ＋3λ＋.因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝.7、.(2022·石家庄质检)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.(1)证明　设BD与AC交于点O，则BD⊥AC.连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，所以A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，所以AO2＋A1O2＝AA，所以A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，).由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0， 所以⊥，即BD⊥AA1.(2)解　假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设＝λ，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)，从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ).又＝(0，2，0)，＝(，0，)，设平面DA1C1的一个法向量为n3＝(x3，y3，z3)，则则取n3＝(1，0，－1).因为BP∥平面DA1C1，所以n3⊥，即n3·＝－－λ＝0，解得λ＝－1，即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1.