2024年新高考数学一轮复习：第34讲 平面向量的概念与线性运算（解析版）

第34讲平面向量的概念与线性运算1、向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2、向量的线性运算(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0．(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．3、向量共线定理：如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．1、【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=（       ）A．3m-2nB．-2m+3nC．3m+2nD．2m+3n【答案】B【解析】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD-CB=2CA-CD，所以CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n．故选：B．2、【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB边上的中点，则=（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】10 故选：C1、在下列命题中，真命题的是　　　　．（填序号）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．【答案】①③⑤【解析】由定义知①正确；零向量的方向是任意的，故②不正确；③，⑤显然正确，④不正确．2、如图，已知＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　　)A.b－aB.a－bC.a－bD.b－a【答案】D【解析】由题意，得＝＋＝＋＝（－）－＝－＋＝－a＋b.3、已知＝4e1＋2e2，＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝()A.1　B.2　C.4　D.－1【答案】A【解析】　∵M、P、Q三点共线，则与共线，∴＝λ，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得解得t＝1.故选A.4、已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　)10 A.A，B，D三点共线B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线D.A，C，D三点共线【答案】　A【解析】　由题意得＝＋＝a＋5b＝，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线.考向一　平面向量的有关概念例1、给出下列命题，正确的有(　　)A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线【答案】　B【解析】　A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．变式1、给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题是　　　　．（填序号）【答案】①②③⑥【解析】若两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①10 错误；若|a|＝|b|，则a与b大小相等，但a与b的方向不确定，所以a，b不一定相等，故②错误；若＝，则A，B，C，D四点有可能在一条直线上，故③错误；④，⑤显然正确；零向量与任一向量平行，故当b＝0时，a与c不一定平行，故⑥错误．变式2、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．（1）与相等的向量有；（2）与相等的向量有；（3）与共线的向量有．答案：（1），，；（2）；（3）．方法总结：向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．考向二向量的线性运算例2、如图，在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　　　.【答案】【解析】由题意，得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.又＝λ＋μ，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.变式1、（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)A.－B.－10 C.＋D.＋（2）如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则等于(　　)A.－B.＋C.－D.＋【答案】（1）A　（2）A【解析】　1．作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.2．因为DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中点，可得＝＋＝(＋)＋＝－＝－，故选A.变式2、设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋＝　　　　．（用表示）【答案】4【解析】因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．考向三共线定理的应用例3、设两个非零向量a与b不共线．10 (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．【解析】(1)由题意，得＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，所以，共线．又因为有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb同向，所以存在实数λ(λ＞0)，使得ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.因为a，b是不共线的两个非零向量，所以解得或又因为λ＞0，所以k＝1.变式1、如图，在△ABC中，D是BC上靠近点B的四等分点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.(1)试用a，b表示，，；(2)证明：B，E，F三点共线．【解析】(1)由题意，得＝－＝b－a.＝＋＝＋＝＋（－）＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝－＋＝－a＋b.(2)因为＝－a＋b，＝＋＝－＋＝－a＋（a＋b）＝－a＋b＝＝，所以与共线．又与有公共点B，所以B，E，F三点共线．变式2、如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示.10 【解析】　设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.＝－＝－＝－a＋b.又∵A、M、D三点共线，∴与共线．∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋b)．∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵＝－＝ma＋nb－a＝(m－)a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴与共线．∴存在实数t1，使得＝t1，∴(m－)a＋nb＝t1(－a＋b)，∴消去t1得，4m＋n＝1②.由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.方法总结：利用共线向量定理解题的方法(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.1、已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ的值为(　　)A.－1B.－2C.－2或1D.－1或2【答案】D【解析】因为A，B，C三点共线，所以存在唯一一个实数μ，使得＝μ，即λa＋2b＝μ[a＋(λ－1)b]，所以解得λ＝－1或λ＝2.2、.在△ABC中，下列命题正确的是(　　)10 A.－＝B.＋＋＝0C.若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形D.若·＞0，则△ABC为锐角三角形【答案】　BC【解析】　由向量的运算法则知－＝；＋＋＝0，故A错，B对；∵(＋)·(－)＝2－2＝0，∴2＝2，即AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故C对；∵·＞0，∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC.3、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得，A对；10 ∵，∴，∴，又F为AE的中点，∴，B对；∴，C对；∴，D错；故选：ABC．4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）如图在梯形中，，，设，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】因为，，所以，又，，所以.故选：D.10 10