2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7.6　空间向量的概念与运算

§7.6　空间向量的概念与运算考试要求　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量长度相等而方向相反的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b324 共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　×　)(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　×　)教材改编题24 1.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b－cD．－a－b＋c答案　C解析　＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－a－b－c.2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)A．相交B．平行C．垂直D．不能确定答案　B解析　分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝，所以M，N，所以＝，又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以＝(0，a,0)，所以·＝0，所以⊥.因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝24 ________.答案　10解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.题型一　空间向量的线性运算例1　(1)在空间四边形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)A．(2,3,3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1)D．(－5,2，－1)答案　B解析　因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以＝－，＝(＋)，＝(＋)．所以＝(＋)－(＋)＝(＋)＝×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A.a＋b＋cB.a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c答案　D24 解析　＝＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.思维升华　用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．跟踪训练1　(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)答案　B解析　由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简－－＝________；②用，，表示，则＝________.答案　①　②＋＋解析　①－－＝－(＋)＝－＝＋＝.②因为＝＝(＋)．24 所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.题型二　空间向量基本定理及其应用例2　(1)下列命题正确的是(　　)A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D．若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc答案　C解析　若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a,c共线，则存在无数个实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a,c不共线，则不存在实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D错误．(2)(多选)下列说法中正确的是(　　)A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若，共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件答案　CD解析　由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ，24 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．思维升华应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面＝λ＝x＋y对空间任一点O，＝＋t对空间任一点O，＝＋x＋y对空间任一点O，＝x＋(1－x)对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)跟踪训练2(1)已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ等于(　　)A．2B．－2C．1D．－1答案　B解析　＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，整理得＝6－3＋λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　因为＝x＋y＋(1－x－y)，由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以||的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形，则＝×()2×sin ＝，S△ACD＝×1×1＝，由等体积法得，所以××d＝××124 ，解得d＝，所以||的最小值为.题型三　空间向量数量积及其应用例3　(1)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是______．答案　解析　∵＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，设＝λ＝(λ，λ，2λ)，又∵＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，∴＝－＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，当λ＝时，·取得最小值，此时的坐标为.(2)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.①求线段AC1的长；②求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；③求证：AA1⊥BD.①解　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.24 因为＝＋＋＝a＋b＋c，所以||＝|a＋b＋c|＝＝＝＝，所以线段AC1的长为.②解　因为＝a＋b＋c，＝b－c，所以·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，||＝|b－c|＝＝＝＝，设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝＝，即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.③证明　由①知＝c，＝b－a，所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即·＝0，所以AA1⊥BD.思维升华　空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．跟踪训练3　(1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·等于(　　)A.B.C.D.24 答案　D解析　∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AO，∴·＝0，||＝·||·sin60°＝，故·＝·(＋)＝||2＝||2－||2＝4－＝.(2)(2022·营口模拟)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．①求〈，〉；②求在上的投影向量．解　①因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，所以＝(0,3,3)，＝(2，－2,0)．因为·＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，||＝3，||＝2，所以cos〈，〉＝＝＝－，故〈，〉＝.②因为＝(2,1,3)，＝(0,3,3)，所以·＝0＋1×3＋3×3＝12.因为||＝3，||＝，所以cos〈，〉＝＝＝，24 所以在上的投影向量为||cos〈，〉＝××＝＝(0,2,2)．题型四　向量法证明平行、垂直例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．(1)证明　以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)．故＝(0,1,1)，＝.因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以⊥，即B1E⊥AD1.(2)解　存在满足要求的点P，假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．＝(a,0,1)，＝.因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，得24 取x＝1，则y＝－，z＝－a，故n＝.要使DP∥平面B1AE，只需n⊥，则－az0＝0，解得z0＝.所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.思维升华　(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．跟踪训练4　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD.证明　以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．设BA＝a，则A(a,0,0)，G.24 (1)因为＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，所以·＝0，·＝0.所以⊥，⊥，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.因为B1D⊂平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.(2)方法一　因为＝，＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，所以·＝0，·＝0.所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.因为EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.方法二　因为＝，所以＝－，∴GF∥BA，又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面ABD.课时精练1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于(　　)A．－6B．6C．－4D．4答案　D解析　若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有(　　)24 A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥cC．若，，是空间的一组基底，且＝＋＋，则A，B，C，D四点共面D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底答案　ACD解析　对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A正确；对于B，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c不一定共线，故B错误；对于C，若，，是空间的一组基底，且＝＋＋，则－＝(－)＋(－)，即＝＋，可得A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D，若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x，y，z),使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，则a，b，c也是空间的一组基底．3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝1，则·等于(　　)A．1B．2C．3D.答案　A解析　由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，＝＋＋，所以·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝0＋2＋0＝1.4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)24 A．(1，－1,1)B.C.D.答案　B解析　对于选项A，＝(1,0,1)，·n＝5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有＝，所以·n＝0，因此B项正确．5.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　)A．2B．3C．2D．4答案　B解析　∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，∵⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，·＝||||cos(180°－120°)＝×1×2＝1.∴2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴||＝3.6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a＝(2，－2,1)，b＝(3,0,4)，则下列说法正确的是(　　)A．向量c＝(－8,5,6)与a，b垂直B．向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面C．若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成角的余弦值为D．向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)答案　BC解析　对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故a，c不垂直，故A错；对于B，设d＝ma＋nb，则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)＝(1，－4，－2)，24 所以解得即2a－b＝d，故B对；对于C，因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以异面直线l1与l2所成角的余弦值为，故C对；对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝3×××(3,0,4)＝，故D错．7．已知直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一个法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝________.答案　2解析　∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l⊥α，∴m∥n，∴＝＝，解得a＝，b＝－，∴a＋b＝2.8．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案　VA∥平面PMN解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b，由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c.因此＝＋，∴，，共面．又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；24 (2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)解　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)令＝t(t∈R)，＝(1，－1，－2)，所以＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为.10.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.证明　(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴⊥，⊥，24 ∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论不正确的是(　　)A．当＝2时，B1，P，D三点共线B．当⊥时，⊥C．当＝3时，D1P∥平面BDC1D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP答案　B解析　如图，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C(0，，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，，1)，D(0,0,0)，B(1，，0)，C1(0，，1)，当＝2时，＝，＝＋＝，而＝(1，，1)，∴＝，∴B1，P，D三点共线，A正确；设＝λ，＝(－1，，－1)，则＝＋＝＋λ＝(－λ，λ，1－λ)．当⊥时，有·＝5λ－1＝0，24 ∴λ＝，∴·＝·＝－≠0，∴与不垂直，B不正确；当＝3时，＝，＝－＝，又＝(1，，0)，＝(0，，1)，∴＝－，∴，，共面，又D1P⊄平面BDC1，∴D1P∥平面BDC1，C正确；当＝5时，＝，从而＝，又·＝(－1,0,1)·(－1，，－1)＝0，∴A1C⊥AD1，·＝·(－1，，－1)＝0，∴A1C⊥AP，∵AD1∩AP＝A，AD1，AP⊂平面D1AP，∴A1C⊥平面D1AP，D正确．12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　)A．MN⊥A1MB．MN⊥平面D1MCC．线段BN长度的最大值为D．三棱锥C1－A1D1M体积不变答案　ACD解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，24 则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，＝(3，y，－3)，＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，则·＝y(3－y)－3z＝0，即z＝y(3－y)．对于A选项，连接A1M，＝(0，y，－3)，则·＝y(3－y)－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，A正确；对于B选项，＝(3，y－3,0)，·＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项，＝(0,0，z)，则线段BN长度||＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；对于D选项，连接D1M，A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝，所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值，即D正确．13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．答案　15解析　如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，24 则A，B1，C，C1，M(0,0,0)，设N，因为＝λ，所以N，所以＝，＝.又因为AB1⊥MN，所以·＝0，所以－＋＝0，解得λ＝15.14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝________，EF＝________.答案　　解析　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，则E，F，∴＝，＝，＝，cos〈，〉＝＝＝，24 ∴cos∠EAF＝，EF＝||＝＝.15．已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F满足＝λ(0＜λ＜1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，设F(t,0,0)，0<t<4，＝λ(0＜λ＜1)，则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，∴F(4λ，0,0)，＝(4，－4,2)，＝(4λ，－4,0)，＝(4,4，－4)，＝(4,0，－2)，设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE的法向量为m＝(a，b，c)，则取a＝1，得m＝(1,1,2)，∵平面DEF⊥平面PCE，24 ∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝.16.如图，在三棱锥P－ABC中，·＝·＝·＝0，||2＝||2＝4||2.(1)求证：AB⊥平面PAC；(2)若M为线段PC上的点，设＝λ，当λ为何值时，直线PC⊥平面MAB?(1)证明　因为·＝·＝·＝0，所以PA⊥AB，AB⊥AC，因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.(2)解　当M为PC的中点，即λ＝时，直线PC⊥平面MAB.如图，以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Axyz.由||2＝||2＝4||2可得PA＝AC＝2AB.设AP＝2，则P(0,0,2)，A(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,1,0)，M(1,0,1)．＝(2,0，－2)，＝(1,0,1)，＝(－1,1，－1)．·＝2×1＋0×0＋(－2)×1＝0，所以⊥，即PC⊥AM.·＝2×(－1)＋0×1＋(－2)×(－1)＝0，24 所以⊥，即PC⊥BM.又因为AM∩BM＝M，AM，BM⊂平面MAB，所以PC⊥平面MAB.故当λ＝时，PC⊥平面MAB.24