2024年新高考数学一轮复习：第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式（解析版）

第26讲同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋αsinα－sinα－sinαsin_αcos_αcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsin_α－sin_αtanαtanα－tanα－tan_α3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．4、三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sin＝sin＝cos；cos＝cos＝sin.1、【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为sin2x+cos2x=1可得：当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.2、【2021年新高考1卷】若，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．1、（2022·山东威海·三模）已知，，则___________.【答案】【解析】由题知：，因为，所以.故答案为：2、已知，则（）A．B．6C．D．【答案】B 【解析】化简所以，故选B。3、在△ABC中，下列结论不正确的是(　　)A．sin(A＋B)＝sinCB．sin ＝cos C．tan(A＋B)＝－tanCD．cos(A＋B)＝cosC【答案】　D【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确．sin ＝sin＝cos ，B正确．tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，C正确．cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．4、化简：的值为（）A.B.C.D.【答案】：B【解析】：原式＝＝＝＝－15、（2022·湖南益阳·一模）若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由可知：∴，∴，又==.故选C. 6、（2022·河北唐山·三模）若，则___________．【答案】4【解析】因为，两边同时平方得，即，所以，因此，故答案为：4.考向一　三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝．(1)若cos＝，求f(α)的值；(2)若α＝－1860°，求f(α)的值．【解析】：f(α)＝＝－cosα．(1)∵cos＝－sinα＝，∴sinα＝－．∵α是第三象限的角，∴cosα＝－＝－．∴f(α)＝－cosα＝．(2)f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－．变式1、已知f(α)＝，则f的值为　　　　．【答案】 【解析】因为f(α)＝＝＝cosα，所以f＝cos＝cos＝.变式2、求值：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝______；【答案】1【解析】原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．考向二同角函数关系式的运用例2、已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝.求：(1)sinx－cosx的值；(2)的值．【解析】(1)sinx＋cosx＝两边平方，得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，整理，得2sinxcosx＝－，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.由x∈(－π，0)，知sinx＜0.又sinx＋cosx＞0，所以cosx＞0，则sinx－cosx＜0， 故sinx－cosx＝－.(2)＝＝＝＝－　变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为___．(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为____．【答案】（1）－.（2）.【解析】　(1)由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜0，∴cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.(2)∵＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：(1)cosα＋sinα（α是第二象限角）；(2)sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α.【解析】(1)cosα＋sinα＝cosα·＋sinα·＝cosα·＋sinα·＝cosα·＋sinα·＝－1＋sinα＋1－cosα＝sinα－cosα.(2)sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α(sin2α＋cos2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.变式3、已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈.求：(1)tanα的值；(2)的值．【解析】(1)因为2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，且cos2α＋sin2α＝1， 所以＝1，所以＝1，解得tanα＝－或tanα＝1.又α∈，所以tanα＝－.(2)＝＝＝－.方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．考向三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，所以sin(75°+α)=．因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-，所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=变式1、已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝.【答案】　0【解析】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－， sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.变式2、已知tan＝，则tan＝　　　　．【答案】－【解析】tan＝tan[π－（－α）]＝－tan＝－.变式3、已知sin＝，则sin（x－）＋sin2的值为　　　　．【答案】【解析】sin＋sin2＝sin＋sin2＝－sin＋cos2＝－sin＋1－sin2＝.方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.1、（2022·广东广州·一模）若，，则___________.【答案】【解析】解：因为，，所以，因为，所以所以故答案为：2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线 垂直，则的值为（        ）A．B．C．2D．3【答案】B【解析】因为角的终边与直线垂直，即角的终边在直线上，所以，，故选：B．3、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，则______．【答案】0或1##1或0【解析】由得：，则，，所以或.故答案为：0或14、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，，，所以.故选：C5、（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】故选：B.6、（2022·福建三明·模拟预测）已知，则（       ） A．－B．C．－D．【答案】A【解析】所以故选：A7、（2022·湖北·模拟预测）已知，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.8、（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（       ）A．B．C．-3D．3【答案】C【解析】，分子分母同除以，，解得：故选：C