2024年新高考数学一轮复习：第17讲 指、对、幂的大小比较（微专题）（解析版）

第17讲指、对、幂的大小比较（微专题）比较大小的基本思路：1.求同存异：如果两个指数(或对数)的底数相同，那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性，判断出指数(或对数)的大小关系．要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．2.利用特殊值作“中间量”：在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围，各个击破”)；也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1点几的数，从而便于比较．3.利用函数单调性比较大小．题型一、求同存异(化为同底或同指数)例1　(1)(2022·怀化一模)已知a＝，b＝，c＝ln3，则a，b，c的大小关系为(　　)A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a【答案】D【解析】由指数函数的性质可知，a＝∈(0,1)，b＝∈(0,1)，c＝ln3>1，且a＝＝，b＝＝，所以b>a，故c>b>a.(2)(2022·唐山期末)设a＝log23，b＝log34，c＝log48，则(　　)A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c【答案】A【解析】log34＝log2764＝，log48＝log1664＝，函数y＝log64x在(0，＋∞)上单调递增，所以log6427>log6416>0，所以<，即log34<log48，即b<c.因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，log23＝log49>log48，所以c<a.综上，a>c>b.变式1、　(2022·湛江二模)若a＝lg0.2，b＝log32，c＝log64，则(　　)A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c【答案】A【解析】因为a＝lg0.2＝lg＝lg2－1<0，c＝log64＝log2>log32＝b>0，所以c>b>a. 题型二、利用特殊值作“中间量”例1、（2020年天津卷）设，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，，，所以.故选：D.变式1、（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（       ）．A．B．C．D．【答案】C【分析】利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.【详解】∵，，，∴．故选：C.变式2、（2022·江苏海门·高三期末）已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b【答案】D【解析】【分析】由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案. 【详解】由题意，，，，则.故选：D.变式3、（2022·江苏通州·高三期末）已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln6，则（）A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性判断．【详解】，，，，，易知，所以，即，所以．故选：A．变式4、（2021·山东青岛市·高三二模）（多选题）下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】A.，，，，故A不正确；B.,,，故B正确；C.要判断，即判定，即判定，即，即，即成立，故C正确；D.，，，且， ，，故D正确.故选：BCD题型三、利用函数的单调性比较大小例3、（2020·河北邯郸市·高三期末）（多选题）设，则（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因为，可得函数均是减函数，可得，，所以CD不正确；又由函数是增函数，是减函数，可得，且，所以，所以故A正确；因为，可得，所以函数是增函数，可得，所以B正确.故选：AB.变式1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由，得到，令，利用导数求得在上单调递增，得到，得出，进而得到，即可求解.【详解】因为，且在为单调递增函数，所以，即， 令，可得，当时，单调递减，所以在单调递增，且，所以在上恒成立，所以在上单调递增，且，所以，即，即，所以，又因为，所以.故选：D.变式2、（2022·江苏常州·高三期末）已知函数图象关于点对称，且当时，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由关于点对称可知，关于点对称，则为奇函数令，则为偶函数，又时，，即则在上单调递增，则有即就是，故选：D