2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.9　指、对、幂的大小比较[培优课]

§2.9　指、对、幂的大小比较指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．题型一　直接法比较大小命题点1　利用函数的性质例1　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>c>bB．a>b>cC．c>b>aD．b>c>a答案　C解析　因为函数y＝x是增函数，所以<，即a<b，又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以<，所以b<c，故c>b>a.命题点2　找中间值例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．c>b>a答案　C解析　因为1＝log55>log53>log5＝log5＝，即<a<1，12 b＝>20＝1,7－0.5＝<＝，即0<c<，所以b>a>c.命题点3　特殊值法例3　已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　)A．ac<bcB．abc<bacC．alogbc<blogacD．logac<logbc答案　C解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝，bc＝，∴ac>bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，∴abc>bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误．思维升华　利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，则(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b答案　D解析　因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，所以1.60.6>0.60.6>0，又b＝lg0.6<lg1＝0，所以c>a>b.12 (2)已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．a>c>b答案　A解析　因为a＝＝log3，＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log3>log34，即a>b.又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c.题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小例4　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a<b<cB．c<b<aC．b<c<aD．c<a<b答案　A解析　c＝>＝1，a＝＝＝，b＝＝，因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<，所以a<b，又<0＝1，即b<1，所以a<b<c.(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b答案　A解析　∵log53－log85＝log53－＝12 <＝<＝0，∴log53<log85.∵55<84，134<85，∴5log85<4，4<5log138，∴log85<log138，∴log53<log85<log138，即a<b<c.思维升华　求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a答案　B解析　c＝930＝360，a＝2100⇒lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，b＝365⇒lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，c＝930⇒lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，即b>a>c.(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则(　　)A．b<a<cB．c<b<aC．a<c<bD．a<b<c答案　D解析　由题意得，a＝log63＝log6＝1－log62＝1－，b＝log84＝log8＝1－log82＝1－，c＝log105＝log10＝1－log102＝1－，12 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log26<log28<log210，则>>，所以a<b<c.题型三　构造函数比较大小例5　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a<b<cB．b<a<cC．a<c<bD．b<c<a答案　B解析　a＝＝，c＝＝，令f(x)＝，∴a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)，∴f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝＝c，∴a<c，b<c，又b＝＝＝＝f(4)，∵4>，∴f(4)<f ，∴b<a，∴b<a<c.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln0.9，则(　　)A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．a<c<b12 答案　C解析　设u(x)＝xex(0<x≤0.1)，v(x)＝(0<x≤0.1)，w(x)＝－ln(1－x)(0<x≤0.1)．则当0<x≤0.1时，u(x)>0，v(x)>0，w(x)>0.①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]＝lnx＋x－[lnx－ln(1－x)]＝x＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，则f′(x)＝1－＝<0在(0,0.1]上恒成立，所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，所以f(0.1)<f(0)＝0＋ln(1－0)＝0，即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0，所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)]．又函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以u(0.1)<v(0.1)，即0.1e0.1<，所以a<b.②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，则g′(x)＝(x＋1)ex－＝(0<x≤0.1)．设h(x)＝(1－x2)ex－1(0<x≤0.1)，则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立，所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，所以0.1e0.1>－ln0.9，即a>c.综上，c<a<b，故选C.思维升华　12 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．跟踪训练3　(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为(　　)A．b>c>aB．c>b>aC．a>c>bD．a>b>c答案　D解析　令f(x)＝(14－x)lnx，则f′(x)＝－lnx＋－1.因为y＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，y＝－1在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)＝－lnx＋－1在(0，＋∞)上单调递减．而f′(5)＝－ln5＋－1>0，f′(6)＝－ln6＋－1<0，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)＝(14－x)lnx在(6，＋∞)上单调递减．所以f(6)>f(7)>f(8)，即8ln6>7ln7>6ln8，故68>77>86.故a>b>c.(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln1.1，则(　　)A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b答案　B解析　∵(e1.3)2＝e2.6<e3<33，(2)2＝28>33，∴e1.3<2，∴a<0；b－c＝4－4－2ln1.1＝2(2－2－ln1.1)，令f(x)＝2－2－lnx，∴f′(x)＝－＝，∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(1.1)>0，即2－2－ln1.1>0，∴c<b，12 又c＝2ln1.1>2ln1＝0，∴a<c<b.课时精练1．设a＝，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系是(　　)A．b<a<cB．c<a<bC．b<c<aD．a<c<b答案　B解析　a＝＝>1，且<2＝b，又c＝log2<log22＝1.故c<a<b.2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)A．c<b<aB．b<a<cC．a<c<bD．a<b<c答案　C解析　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.3．设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为(　　)A．b<c<aB．c<b<aC．a<b<cD．b<a<c答案　A解析　由c＝2－log32＝log39－log32＝log3>log34＝2log32＝b，a－c＝log23＋log32－2>2－2＝2－2＝0，所以a>c，所以b<c<a.4．(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　)A．x>y>zB．y>x>zC．z>x>yD．x>z>y答案　A12 解析　因为3x＝4y＝10，所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2，则1<y<2，所以x>y>1，而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则，，的大小关系是(　　)A.<<B.<<C.<<D.＝＝答案　B解析　由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k>1，可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.∴＝2k－1>1，＝3k－1>1，＝5k－1>1，令f(x)＝xk－1，∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(2)<f(3)<f(5)，即<<.6．(2023·茂名模拟)已知a＝sin2，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c<b<aB．a<b<cC．b<a<cD．b<c<a答案　D解析　a＝sin2>sin ＝>，＝e3>24⇒>2⇒＝>ln2，即b<，∴a>b；∵＝＝，3＝，∴>，12 ∴c>b；∵6＝，＝＝，∴>，∴a>c，∴b<c<a.7．设a＝，b＝9sin ，c＝，则(　　)A．b<a<cB．b<c<aC．c<a<bD．c<b<a答案　B解析　令f(x)＝sinx－x，则f′(x)＝cosx－1≤0，所以f(x)为减函数，所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sinx<x，所以b＝9sin <9×＝<1，又a＝>＝1，c＝>＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105，所以b<c<a.8．已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c<b<aB．c<a<bC．b<a<cD．a<b<c答案　C解析　令f(x)＝(x≥e)，则f′(x)＝，可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴>，∴5ln4π>4ln5π，∴a>b，同理可得>，∴4lnπ>πln4，∴π4>4π，∴5lnπ4>5ln4π，12 ∴c>a，∴b<a<c.9．(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则(　　)A．a>c>bB．c>a>bC．b>a>cD．a>b>c答案　D解析　由题意a＝11.1ln9.1，b＝10.1ln10.1，c＝9.1ln11.1，令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，则f′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋，所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，又f′(1)＝ln9.1＋1－＝ln9.1－>0，所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，所以f(x)在[－1,1]上单调递增，所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c.10．(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　　)A．c>b>aB．b>a>cC．a>b>cD．a>c>b答案　A解析　因为b＝cos ＝1－2sin2，所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2＝2.令f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，即有x>sinx(x>0)成立，所以>sin ，得>sin2，所以b>a.因为＝＝4tan ，12 所以令g(x)＝tanx－x，则g′(x)＝－1＝≥0，所以函数g(x)在定义域内单调递增，所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，即有tanx>x(x>0)成立，所以tan >，即4tan >1，所以>1，又b>0，所以c>b.综上，c>b>a.12