2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第8章　§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练[培优课]

§8.9　圆锥曲线压轴小题突破练题型一　离心率范围问题例1　(1)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.B.C．[－1,1]D.(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A.B．[＋1，＋∞)C.D．(1，＋1]听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　求解圆锥曲线离心率范围问题的策略(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪训练1　(1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为(　　)A.B.C.D.(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，5 N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.题型二　圆锥曲线中二级结论的应用命题点1　椭圆、双曲线中二级结论的应用例2　(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为(　　)A．2B．4C．6D．12(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)A.B．2C.D．3听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan ，双曲线中＝.周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.跟踪训练2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)5 A.B.C.D.(2)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)A.B.C．－1D．－命题点2　抛物线中二级结论的应用例3　(1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(　　)A．2B．2＋3C．4D．3＋2(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　与抛物线的焦点弦有关的二级结论：若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则①焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝，②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，③S△OAB＝(O为坐标原点)，④x1x2＝，y1y2＝－p2，⑤＋＝，5 ⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．跟踪训练3　已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为(　　)A.B.C．4D．2题型三　圆锥曲线与其他知识的综合例4　(多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则(　　)A．该椭圆的离心率为B．该椭圆的离心率为2－C．该椭圆的焦距为D．该椭圆的焦距为2－1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．跟踪训练4　(多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则(　　)5 A．双曲线C的方程为－＝1B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为35