2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系

§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系考试要求　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0.特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．2．弦长公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　√　)(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　×　)(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　√　)(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　√　)教材改编题1．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)A.B．－17 C．±D．±答案　C解析　由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±.2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)A．2B．4C．8D．16答案　C解析　联立消去y并整理得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝＝×＝8.3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点，∴－＝1，－＝1，两式相减得＝，∵M(3,2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴＝，∴kAB＝＝.17 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系例1　(1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有(　　)A．1个B．至多1个C．2个D．0个答案　C解析　因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，所以>3，即m2＋n2<9，所以＋≤＋<1，即点(m，n)在椭圆＋＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为(　　)A．1B.C.D.答案　BC解析　双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，故有≤1.即＝＝e2－1≤1，所以e2≤2，所以1<e≤.思维升华　(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．跟踪训练1　(1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　　)A．1B．2C．4D．8答案　A17 解析　∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，∴l的方程为x＝－1，A(－1,0)，设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1，m>0，由得y2－4my＋4＝0，∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2，∴△OAB的面积为×1×2＝1.(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．答案　(1,2)解析　∵直线l的斜率kl＝tan60°＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则<，∴e＝＝<2，故1<e<2.题型二　弦长问题例2　(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.(1)解　由题意得，椭圆半焦距c＝且e＝＝，所以a＝，17 又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，联立可得4x2－6x＋3＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝·＝，所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以m2＝k2＋1，联立可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|MN|＝·＝＝·＝，化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，所以或所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F17 三点共线的充要条件是|MN|＝.思维升华　(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．跟踪训练2　已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程．解　(1)由得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，即y1＋y2＝，y1y2＝.又S△BMN＝|BF1|·|y1|＋|BF1|·|y2|＝|BF1|·|y1－y2|＝|BF1|·＝＝，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.题型三　中点弦问题例3　(2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．17 解　(1)因为离心率e＝＝，所以a＝c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得＋＝0，所以＝－·.因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，所以＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.思维升华　(1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．(2)点差法常用结论已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.若E的方程为＋＝1(a>b>0)，则k＝－·；若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则k＝·；若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.跟踪训练3　(1)(2022·石家庄模拟)已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，相交于A，B两点，M(1,3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线方程为________．17 答案　y＝±x解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝3，＝1，由两式相减可得－＝0，则－＝0，即a2＝3b2，则a＝b，则＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)A．(1，－1)B．(2,0)C.D．(1,1)答案　A解析　因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴PQ中点的纵坐标为＝－1，又∵PQ的中点在直线l上，∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1.∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．课时精练1．已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是(　　)17 A．相离B．相切C．相交D．无法确定答案　C解析　由直线l：kx＋y＋1＝0，得直线l过定点(0，－1)，因为＋<1，所以该点在椭圆C：＋＝1内部．所以直线l与椭圆C相交．2．(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　)A.B.C．1D．2答案　C解析　由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为，代入抛物线方程可解得p＝1.3．已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是(　　)A．(－，)B．[1，)C．[－，]D．(1，)答案　D解析　联立整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，所以解得1<k<，所以实数k的取值范围为(1，)．4．(2022·哈尔滨模拟)已知A，B分别是椭圆C：＋y2＝1的右顶点和上顶点，P为椭圆C上一点，若△PAB的面积是－1，则P点的个数为(　　)A．0B．2C．3D．4答案　C解析　由C：＋y2＝1可得a＝2，b＝1，所以A(2,0)，B(0,1)，|AB|＝，17 所以直线AB的方程为y＝－x＋1，设过点P与直线AB平行的直线l：y＝－x＋t，则直线l与直线AB的距离d＝＝|t－1|，因为点P为直线l与椭圆的交点，所以点P到直线AB的距离为d，因为△PAB的面积是－1,可得S△PAB＝×|AB|×d＝××|t－1|＝－1，解得t＝或t＝2－，当t＝时，由可得(x－)2＝0，解得此时P，当t＝2－时，由可得x2＋(2－4)x＋10－8＝0，因为Δ＝(2－4)2－4(10－8)＝16(－1)>0，此时直线l与椭圆有2个交点，此时有2个P点，所以共有3个P点．5．(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则(　　)A．y1y2为定值B．k1k2为定值C．y1＋y2为定值D．k1＋k2＋t为定值答案　ABD解析　由得y2－4ty－16＝0，则对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于B，k1k2＝＝＝＝－1为定值，故B正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；对于D，k1＋k2＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t17 ＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确．6．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　)A．△ABF2的周长为4aB．若AB的中点为M，则kOM·k＝C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝答案　AC解析　由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c,0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1.所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M，kOM＝，k＝，所以kOM·k＝·＝，由①－②得＋＝0，所以＝－，则kOM·k＝＝－，所以B错误；＝(－c－x1，－y1)，＝(c－x1，－y1)，所以·＝x－c2＋y＝x＋a2－2c2∈[a2－2c2，a2－c2]，则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，可得e＝∈，所以C正确；17 因为过焦点的弦中通径最短，则|AB|的最小值为通径，则有＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，所以e＝＝，所以D错误．7．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为，则|AB|＝________.答案　4解析　如图所示，由椭圆定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长为4a，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABF2内切圆的半径为r，又△ABF2内切圆的周长是2π，故2π＝2πr，则r＝1，由题意得×4a×r＝×2c×|y1－y2|，得|y1－y2|＝＝＝4，所以|AB|＝|y1－y2|＝4.8．(2023·保定模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为的直线l与C交于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为________．答案　5解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，两式相减得y－y＝2px1－2px2，即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，因为M，N两点在斜率为的直线l上，所以＝，所以由(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)得(y1＋y2)＝2p，17 因为线段MN中点的纵坐标为，所以y1＋y2＝2，则×2＝2p，p＝5，所以F到C的准线的距离为5.9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围．(1)解　因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4，解得a＝2，c＝1，则b2＝3，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)易知直线的斜率存在，设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；当k≠0时，有kAB＝＝－，AB中点的坐标为(x0，y0)，则两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0，又y0＝k，解得x0＝1，y0＝，因为线段AB的中点在椭圆内部，所以＋<1，即＋<1，解得－2<k<0或0<k<2，综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2)．10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上．17 (1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程．解　(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为－＝1(0<a2<4)，将点P(5，)代入上式，得－＝1，解得a2＝50(舍去)或a2＝2，故所求双曲线的方程为－＝1.(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，所以解得(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝·.又原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝d·|AB|＝××·＝.又S△OAB＝2，即＝1，所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*)．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2.11．(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝17 1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)A．1B.C.D．2答案　C解析　设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1，令y＝0，可得C，令x＝0，可得D，所以△OCD面积S＝××＝，又点B在椭圆上，所以＋y＝1，所以S＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x1＝1，y1＝时等号成立，所以△OCD面积的最小值为.12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A在x轴上方)，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|＝|NF|，则直线AB的斜率为________．答案　解析　如图，由题意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因为∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，所以∠MFO＋∠NFO＝，所以MF⊥NF，17 又|MF|＝|NF|，所以∠NMF＝，所以∠MFO＝∠AFM＝，故∠AFx＝，所以直线AB的斜率为tan ＝.13．(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是(　　)A．|M1M2|·|M3M4|B．|FM1|·|FM4|C．|M1M3|·|M2M4|D．|FM1|·|M1M2|答案　A解析　如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，由定义得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，由消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.14．(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．答案　13解析　如图，连接AF1，DF2，EF2，17 因为C的离心率为，所以＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|DE|＝＝＝＝6，解得c＝，所以a＝2c＝，所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.17