第八章　§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系

§8.8直线与圆锥曲线的位置关系第八章直线和圆、圆锥曲线成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ0.特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.>＝< 2.弦长公式 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.()(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.()(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.()√√√× √由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0， 2.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是A.2B.4C.8D.16√设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1， 3.已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为√ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点，∵M(3,2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， 探究核心题型第二部分 题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＝1的交点有A.1个B.至多1个C.2个D.0个√ 因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点， (2)(多选)已知直线y＝x与双曲线＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为√√ (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).思维升华 跟踪训练1(1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为A.1B.2C.4D.8√ ∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，∴l的方程为x＝－1，A(－1,0)，设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1，m>0，∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即yB＝2， (2)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为______.(1,2) 例2(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，右焦点为(1)求椭圆C的方程；题型二弦长问题 由题意得， (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝ 由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线， 所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋m(km<0)，即kx－y＋m＝0，所以m2＝k2＋1， 可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1， (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求.(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.思维升华 跟踪训练2已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a>b>0)，短轴长为椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝求直线l的方程. 由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 例3(2023·衡水模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；题型三中点弦问题 因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32， (2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程. 由题意得，直线l的斜率存在. 因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. (1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量.思维升华 (2)点差法常用结论已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.思维升华 思维升华 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， (2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为A.(1，－1)B.(2,0)C.D.(1,1)√ 因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2， 又∵PQ的中点在直线l上，∴线段PQ的中点坐标为(1，－1). 课时精练第三部分 1.已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C：＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.无法确定1234567891011121314√基础保分练由直线l：kx＋y＋1＝0，得直线l过定点(0，－1)，所以直线l与椭圆C相交. 由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，代入抛物线方程可解得p＝1.2.(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于√1234567891011121314 3.已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是√1234567891011121314 因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，1234567891011121314 1234567891011121314√ 因为点P为直线l与椭圆的交点，所以点P到直线AB的距离为d，1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314此时直线l与椭圆有2个交点，此时有2个P点，所以共有3个P点. 12345678910111213145.(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则A.y1y2为定值B.k1k2为定值C.y1＋y2为定值D.k1＋k2＋t为定值√√√ 对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；1234567891011121314 1234567891011121314 6.(多选)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的是A.△ABF2的周长为4a1234567891011121314√√ 由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c,0)，知弦AB过椭圆的左焦点F1.所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121314 1234567891011121314①② 则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，1234567891011121314 即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，1234567891011121314 1234567891011121314 如图所示，由椭圆定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长为4a，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABF2内切圆的半径为r，又△ABF2内切圆的周长是2π，故2π＝2πr，则r＝1，1234567891011121314 1234567891011121314 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，1234567891011121314 1234567891011121314 9.已知椭圆C：长轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程；解得a＝2，c＝1，则b2＝3，1234567891011121314 (2)已知直线l过定点，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围.1234567891011121314 易知直线的斜率存在，设直线l的方程为当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；1234567891011121314 两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0，因为线段AB的中点在椭圆内部，1234567891011121314 解得－2<k<0或0<k<2，综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2).1234567891011121314 10.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；1234567891011121314 依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，1234567891011121314解得a2＝50(舍去)或a2＝2， (2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为求直线l的方程.1234567891011121314 依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，1234567891011121314(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121314 故满足条件的直线l有两条，1234567891011121314 1234567891011121314综合提升练11.(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＝1(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为√ 设B(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，由题意得，1234567891011121314 1234567891011121314 12.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A在x轴上方)，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|＝|NF|，则直线AB的斜率为_____.1234567891011121314 如图，由题意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因为∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，1234567891011121314 13.(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是A.|M1M2|·|M3M4|B.|FM1|·|FM4|C.|M1M3|·|M2M4|D.|FM1|·|M1M2|1234567891011121314√拓展冲刺练 如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，由定义得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，1234567891011121314 整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.1234567891011121314 14.(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是_____.123456789101112131413 如图，连接AF1，DF2，EF2，1234567891011121314所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|， 所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，1234567891011121314得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)， 所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.1234567891011121314 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第八章直线和圆、圆锥曲线