2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.2　等差数列

§6.2　等差数列考试要求　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．常用结论1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当13 d＝0时，{an}是常数列．4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　×　)(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．(　√　)教材改编题1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于(　　)A．－2B．－1C．1D．2答案　C解析　设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)A．12B．8C．20D．16答案　D解析　等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．答案　30解析　由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.题型一　等差数列基本量的运算例1　(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，a＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于(　　)A．10B．11C．12D．13答案　D解析　由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋＝0，解得a1＝－6，n＝13.(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．13 上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块答案　C解析　设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3402(块)．思维升华　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1　(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　　)A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸答案　B解析　由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，∴解得∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．(2)数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2024＝________.13 答案　－解析　设等差数列的公差为d，因为a1＝1，a3＝－，所以＝1，＝3.所以3＝1＋2d，解得d＝1.所以＝1＋n－1＝n，所以an＝－1.所以a2024＝－1＝－＝－.题型二　等差数列的判定与证明例2　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解　①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．①②⇒③.已知{an}是等差数列，{}是等差数列．设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{}的公差为d，d>0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，13 所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列．思维升华　判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n项和公式法．跟踪训练2　已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．(1)证明　由题意得b＝anan＋1，则cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，∴{cn}是等差数列．(2)解　当n＝1时，a＝a，∵a1>0，∴a1＝1.a＋a＋a＋…＋a＝S，①当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，②①－②得，a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．∵an>0，∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③∵a1＝1也符合上式，∴当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1，④③－④得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.题型三　等差数列的性质命题点1　等差数列项的性质例3　(1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且log2()＝22，则S13等于(　　)A．40B．65C．80D．40＋log25答案　B解析　log2()＝log2＋log2＋…＋log2＝a1＋a2＋…＋a11＝11a6＝22，所以a6＝2，则S13＝＝＝65.(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2024－b202413 的值为________．答案　4051解析　令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2024－b2024＝c2024＝5＋2023×2＝4051.思维升华　等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合．跟踪训练3　(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于(　　)A．2B．3C．4D．5答案　A解析　∵S15＝30，∴(a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足＝－2，则下列结论一定成立的是(　　)A.＝－1B.＝－1C.＝－1D.＝－1答案　C解析　由＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0，所以a3≠0，＝－1.命题点2　等差数列前n项和的性质例4　(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　)A.B.C.D.13 答案　C解析　由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴＋＝＝＝＝＝＝.(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　)A．30B．29C．28D．27答案　B解析　奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290，∴(n＋1)an＋1＝290.偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝nan＋1＝261，∴an＋1＝290－261＝29.思维升华　等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.跟踪训练4　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于(　　)A．6B．10C．20D．40答案　C解析　由S4＝20，S5＝30，得a5＝S5－S4＝10，由等差数列的性质，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，am＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，－＝6，则S2023等于(　　)A．2023B．－2023C．4046D．－4046答案　C解析　∵为等差数列，设公差为d′，则－＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为＝－2020，∴＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.13 课时精练1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是(　　)A．(3，＋∞)B.C.D.答案　D解析　an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得3<d≤.2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S50－S47＝12，则S97等于(　　)A．198B．388C．776D．2023答案　B解析　∵S50－S47＝a48＋a49＋a50＝12，∴a49＝4，∴S97＝＝97a49＝97×4＝388.3．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)A．28B．29C．30D．31答案　B解析　设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.4．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.191113 年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为(　　)A．己丑年B．己酉年C．丙寅年D．甲寅年答案　A解析　根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3a5＝7a11，且a1>0.则使Sn<0的n的最小值为(　　)A．30B．31C．32D．33答案　B解析　根据题意，设等差数列{an}的公差为d，若3a5＝7a11，且a1>0，则3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，变形可得4a1＋58d＝0，则a1＝－d，所以Sn＝na1＋＝－nd＋＝(n2－30n)，因为a1＝－d>0，所以d<0，若Sn<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，则n>30，故使Sn<0的n的最小值为31.6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是(　　)A．a，b，c依次成等差数列B.，，依次成等差数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a3，b3，c3依次成等差数列答案　ABD解析　在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋，整理得＝＋，利用正弦定理和余弦定理得2·＝＋13 ，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．7．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.答案　2解析　由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.答案　200解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.9．已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn的最小值．从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解　选择①作为补充条件：(1)因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*)．(2)由(1)可知a1＝－3，所以Sn＝＝n(n－7)．因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.选择②作为补充条件：(1)因为a5＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*)．(2)由(1)可知a1＝－7，所以Sn＝＝n2－8n.所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.13 不可以选择③作为补充条件．10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，∵a1＝8，a4＝2，∴d＝＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，∴Tn＝11．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有(　　)A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12D．S20＝0答案　AC解析　根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，得a10＝0，故A正确；13 不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，得S7＝S12，故C正确；S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d.因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确．12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　＝＝＝，所以＝，所以＝＝＝.13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．答案　3n2－2n解析　将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋×6＝3n2－2n.14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为______．答案　12解析　由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12.15．将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为(　　)13 A．213B．215C．217D．219答案　B解析　由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋…＋14＝＝105个数，则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a108＝1＋(108－1)×2＝215.16．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为(　　)A．－70B．－72C．－64D．－68答案　B解析　∵数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，∴Hn＝＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a1＝4，满足上式，∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－20＝2n－18，∴{an－20}是以－16为首项，2为公差的等差数列，所以{an－20}的前n项和Sn＝n2－17n.由得8≤n≤9，∴Sn的最小值为S8＝S9＝－72.13