2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章　§6.1　数列的概念

§6.1　数列的概念考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列13 3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．常用结论1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列的项与项数是同一个概念．(　×　)(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(　√　)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　)(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(　√　)教材改编题1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是(　　)A．21B．33C．152D．153答案　ABD解析　由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是(　　)A．2B．4C．5D．6答案　B解析　由题意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.答案　34解析　通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.题型一　由an与Sn的关系求通项公式例1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于(　　)A．128B．256C．512D．1024答案　B解析　∵Sn＋1＝2Sn－1，∴当n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，两式相减得an＋1＝2an.当n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2.则a10＝a2×2813 ＝1×28＝256.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________.答案　解析　根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝思维升华　Sn与an的关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．跟踪训练1　(1)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝nB．an＝n2C．an＝D．an＝答案　B解析　∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝(n≥2)，两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.答案　－解析　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.题型二　由数列的递推关系求通项公式命题点1　累加法13 例2　设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　A解析　由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1满足上式，则＝＝2.所以＋＋…＋＝2×＝2×＝.所以＝＝1.命题点2　累乘法例3　在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．答案　an＝解析　∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝.13 思维升华　(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．(2)形如＝f(n)的数列，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．跟踪训练2　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn答案　A解析　因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋lnn(n∈N*)．(2)已知数列a1，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an＝________.答案　解析　由题意知，a1＝1，＝1×2n－1＝2n－1(n≥2)，所以an＝××…××a1＝2n－1×2n－2×…×1＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1适合此式，所以log2an＝.题型三　数列的性质命题点1　数列的单调性例4　设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.答案　n－6，n∈N*(答案不唯一)解析　由∀n∈N*，an＋1>an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正．而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*(13 答案不唯一)．命题点2　数列的周期性例5　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2024的值为(　　)A．2B．－3C．－D.答案　D解析　由题意知，a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2024＝a505×4＋4＝a4＝.命题点3　数列的最值例6　已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　)A．1，－B．0，－C.，－D．1，－答案　A解析　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝<0，且单调递减；当n≥4时，an＝>0，且单调递减，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.思维升华　(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．跟踪训练3　(1)观察数列1，ln2，sin3,4，ln5，sin6,7，ln8，sin9，…，则该数列的第11项是(　　)A．1111B．11C．ln11D．sin11答案　C解析　由数列得出规律，按照1，ln2，sin3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln11.(2)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________．答案　3，－113 解析　an＝＝＝1＋，当n≥11时，>0，且单调递减；当1≤n≤10时，<0，且单调递减．因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项．a11＝3，a10＝－1.课时精练1．已知an＝，那么数列{an}是(　　)A．递减数列B．递增数列C．常数列D．摆动数列答案　B解析　an＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知数列{an}是递增数列．2．已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于(　　)A．128B．16C．32D．64答案　D解析　因为数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，所以Sn＋1＝2Sn，即＝2，所以数列{Sn}是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以Sn＝2×2n－1＝2n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.所以a7＝26＝64.3．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由题意，得－＝n，则当n≥2时，－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1，所以－＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2)，所以＝＋1＝，即an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1适合此式，所以an＝.4．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2024等于(　　)A．－2B．－1C．1D．213 答案　C解析　a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以数列{an}是周期为3的周期数列．且P3＝－1,2024＝3×674＋2，所以P2024＝(－1)674×a1a2＝1.5．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列的第41项为(　　)A．760B．800C．840D．924答案　C解析　由题意得，大衍数列的奇数项依次为，，，…，易知大衍数列的第41项为＝840.6．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是(　　)A．数列{an}的最小项是a1B．数列{an}的最大项是a4C．数列{an}的最大项是a5D．当n≥5时，数列{an}递减答案　BCD解析　假设第n项为{an}的最大项，则即所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减．7．Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________.答案　an＝解析　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式．所以数列{an}的通项公式为an＝8．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．答案　2n－11　3解析　∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．13 9．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解　(1)选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.(2)选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，得－＝1，所以＝－＋－＋…＋－a1＋a1＝n－1＋1＝n，所以an＝n2.选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式，故{an}的通项公式为an＝10．(2023·长沙模拟)已知数列{cn}满足c1＝，＝，n∈N*，Sn为该数列的前n项和．(1)求证：数列为递增数列；(2)求证：Sn<1.证明　(1)因为c1＝，＝，所以cn≠1，cn≠0，两边分别取倒数可得1－＝－，整理可得－＝2>0，所以数列为递增数列．(2)由＝可得＝，即＝cn＋，13 所以cn＝－，所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝－＋－＋…＋－＝－＝＋2，又≥＝2，所以cn＋1∈，所以<－1，即Sn<1.11．在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于(　　)A.B．－C．100D．－100答案　D解析　因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，所以＝－，所以＝－，＝－，…，＝－.以上各式左右分别相乘，得＝－100，因为a1＝1，所以a100＝－100.12．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　)A．b1<b5B．b3<b8C．b6<b2D．b4<b7答案　D解析　方法一　当n取奇数时，由已知b1＝1＋，b3＝1＋，13 因为>，所以b1>b3，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；当n取偶数时，由已知b2＝1＋，b4＝1＋，因为>，所以b2<b4，同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确；因为>，所以b1>b2，同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；故选D.方法二　(特殊值法)不妨取αk＝1(k＝1,2，…)，则b1＝1＋＝2，b2＝1＋＝1＋＝1＋＝，b3＝1＋＝1＋＝1＋＝，所以b4＝1＋＝1＋＝，b5＝1＋＝1＋＝，b6＝1＋＝1＋＝，b7＝1＋＝1＋＝，13 b8＝1＋＝1＋＝.逐一判断选项可知选D.13．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为________．答案　3解析　∵Sn＝an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，可化为＝＝1＋，由函数y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，取得最大值2.∴的最大值为3.14．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lgn]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2024＝________；S2024＝________.答案　3　4965解析　∵an＝[lgn]，∴当1≤n≤9时，an＝[lgn]＝0；当10≤n≤99时，an＝[lgn]＝1；当100≤n≤999时，an＝[lgn]＝2；当1000≤n≤9999时，an＝[lgn]＝3.∴a2024＝[lg2024]＝3，S2024＝9×0＋90×1＋900×2＋1025×3＝4965.15．(2023·郑州模拟)已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，则数列{an}第2024项为(　　)A．21012－2B．21013－3C．21011－2D．21011－3答案　B解析　由a2n＋1＝a2n＋(－1)n得a2n－1＝a2n－2＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，又由a2n＝a2n－1＋2n得a2n＝a2n－2＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，所以a4＝a2＋22＋(－1)，a6＝a4＋23＋(－1)2，a8＝a6＋24＋(－1)3，…，a2024＝a2022＋21012＋(－1)1011，将上式相加得a2024＝a2＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)1011＋22＋23＋…＋21012＝2＋－1＝21013－3.16．在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝，Tn13 为数列{bn}的前n项和，则T2025＝________.答案　解析　由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，所以(n2－1)an＝n2an－1，所以＝×.令cn＝，则cn＝cn－1×，所以＝.由累乘法得＝，又c1＝a1＝1，所以cn＝，所以＝，所以an＝，所以bn＝＝＝2×，所以T2025＝2×＝2×＝.13