2024年高考数学一轮复习讲练测：数列 第01讲 数列的基本知识与概念（练习）（解析版）

第01讲数列的基本知识与概念（模拟精练+真题演练）1．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则k等于（    ）A．12B．13C．89D．144【答案】A【解析】由斐波那契数列的性质可得：所以k等于12.故选:A.2．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列满足，则（    ）A．2B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以.又因为，所以，所以是周期为4的数列，故.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）著名的波那契列：，，，，，，，满足，，那么是斐波那契数列中的（    ）A．第项B．第项C．第项D．第项【答案】C【解析】因为，16 所以.故选：C4．（2023·宁夏银川·校联考二模）数列满足，，则等于（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C5．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若数列中，，，且，记数列的前n项积为，则的值为（    ）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由题意，得，，，，，，发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，则，，所以原式的值为，故选：D．6．（2023·全国·高三专题练习）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为16 ，若，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以，.故选：D.7．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知数列，若，则（    ）A．9B．11C．13D．15【答案】B【解析】由，令，则，则，令，则，则.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】数列是递增数列，且，则，解得，16 故的取值范围是故选：D9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（    ）A．已知，则数列是递增数列B．数列的通项，若为单调递增数列，则C．已知正项等比数列，则有D．已知等差数列的前项和为，则【答案】AD【解析】对于A中，由，可得，所以数列是递增数列，所以A正确；对于B中，若数列的通项，则恒成立，所以，所以B错误；对于C中，正项递增的等比数列，若，可得，此时，所以C不正确；对于D中，等差数列的前项和为且，根据构成等差数列，即构成等差数列，可得，解得，所以D正确.故选：AD.10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，若数列是递减数列，则实数k不能取的值是（    ）A．B．0C．1D．2【答案】AB【解析】由题意得：数列是递减数列对于一切的恒成立即对于一切的恒成立故对于一切的恒成立，当时，有最大值故，所以16 故选：AB11．（多选题）（2023·河北沧州·高三沧州市一中校考阶段练习）对任意的，由关系式得到的数列满足，则函数的图象不可能是（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由且，即，即函数图象上任意一点都满足，结合选项可知函数的图象不可能是BCD，故选：BCD.12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若数列满足，则数列中的项的值可能为（    ）A．B．2C．D．【答案】AC【解析】由题意可得，，，所以数列是周期为2的数列，所以数列中的项的值可能为，．16 故选：AC．13．（多选题）（2023·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ）A．B．C．D．【答案】CD【解析】因为，，所以，故A错误；，，所以数列是以为周期的周期数列，所以，故B错误；因为，，所以，故C正确；，故D正确；故选：CD14．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，且，则___________．【答案】【解析】由，，可得，，，…，所以是以3为周期的周期数列，因为，所以，故答案为：0．15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则______．【答案】【解析】由数列满足，且，16 可得，，，，，，…，所以是以4为周期的周期数列，所以．故答案为：.16．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是__________．【答案】【解析】因为是递增数列，所以解得，故答案为:.17．（2023·全国·高三专题练习）已知，若存在常数，使得对任意的正整数n都有，则的最小值为______.【答案】/4.5【解析】因为，由已知，所以，，设，则，，，所以，，所以，所以，故，所以，，，所以，所以B－A的最小值为，故答案为：.18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，为正整数，若，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】当时，函数严格单调递减，16 当时，函数严格单调递增，所以当时，取到最小值，因为数列满足，若，则是数列的最小项，所以，故实数的取值范围是.故答案为:.19．（2023·全国·高三专题练习）知数列的通项公式为，则数列的最大项为第______项．【答案】4【解析】解法一：∵，∴当时，；当时，，即，故数列的最大项为第4项．解法二：设数列中的最大项为，则即解得．∵，∴．故数列的最大项为第4项．20．（2023·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）某企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩下的资金全部投入下一年生产，设第年年底企业上缴资金后剩余资金为万元.（1）用表示，，并写出与的关系式；（2）若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值.（精确到0.01）【解析】（1）由题意得：，，.（2）由（1）得16 整理得由，即，解得万元.1．（2015•上海）若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则　　A．单调递减B．单调递增C．有最大值D．有最小值【答案】【解析】无穷等差数列的首项，公差，是递减数列，且先正值，后负值；的前项和为先增加，后减小；有最大值；故选：．2．（2022·全国甲卷·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】[方法一]:常规解法16 因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.[方法二]：特值法不妨设则故D正确.3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，16 累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，16 由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．5．（2021·全国甲卷·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．6．（2020·北京·统考高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.16 故选：B.7．（2004·江苏·高考真题）设数列的前n项和为，（对于所有），且，则的数值是___________．【答案】【解析】因为，（对于所有），所以，当时，，所以，解得.所以，的数值是故答案为：8．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；   ②为等比数列；③为递减数列；       ④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；16 假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.9．（2004·浙江·高考真题）如图，的在个顶点坐标分别为，设为线段BC的中点，为线段CO的中点，为线段的中点，对于每一个正整数n，为线段的中点，令的坐标为，．(1)求及；(2)证明；(3)若记，证明是等比数列．【解析】（1）因为，所以，，，，，，因为为线段的中点，所以，所以，所以为常数列，所以；（2）由（1），16 所以；（3），又，所以是公比为，首项为的等比数列．16 16