第1讲数列的概念1.[命题点1/2023山东菏泽鄄城一中三模]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4an－3，则Sn＝（ C ）A.4[（25）n－1]B.4[（23）n－1]C.3[（43）n－1]D.4（3n－1）解析 当n＝1时，S1＝4a1－3，得a1＝S1＝1，当n≥2时，Sn＝4（Sn－Sn－1）－3，化简得Sn＝43Sn－1＋1，即Sn＋3＝43（Sn－1＋3）（n≥2），又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为43的等比数列，所以Sn＋3＝4×（43）n－1，所以Sn＝4×（43）n－1－3＝3[（43）n－1]，故选C.2.[命题点2角度1/2023山东济南历城二中模拟]数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝1an，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜2.解析 （1）因为an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，所以当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝（n－1)(n+2）2，则an＝n2＋n+22（n≥2），当n＝1时也符合上式，故an＝n2＋n+22.（2）由题意知bn＝1an＝2n2＋n+2＜2n2＋n＝2n（n+1）＝2（1n－1n+1）.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＜2（1－12＋12－13＋…＋1n－1n+1）＝2（1－1n＋1）＜2，问题得证.3.[命题点3角度2/2023四川达州三诊]已知数列{an}满足a12＋a222＋…＋an2n＝n（n∈N*），bn＝λ（an－1）－n2＋4n，若数列{bn}为递增数列，则λ的取值范围是（ A ）A.（38，＋∞）B.（12，＋∞）C.[38，＋∞）D.[12，＋∞）
解析 由a12＋a222＋…＋an2n＝n（n∈N*）可得a12＋a222＋…＋an－12n－1＝n－1（n≥2），两式相减可得an2n＝1（n≥2），则an＝2n（n≥2），当n＝1时，由a12＝1可得a1＝2，满足上式，故an＝2n（n∈N*），所以bn＝λ（2n－1）－n2＋4n.因为数列{bn}为递增数列，即∀n∈N*，bn＋1－bn＞0，则λ（2n＋1－1）－（n＋1）2＋4（n＋1）－[λ（2n－1）－n2＋4n]＝λ·2n－2n＋3＞0，整理得λ＞2n－32n，令cn＝2n－32n，则cn＋1－cn＝2n－12n+1－2n－32n＝5－2n2n+1（n∈N*），当n≤2时，cn＋1＞cn，当n≥3时，cn＋1＜cn，即当n＝3时，2n－32n取得最大值38，从而得λ＞38，所以λ的取值范围为（38，＋∞）.故选A.
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