备考2024届高考数学一轮复习分层练习第五章数列第3讲等比数列

第3讲等比数列1.[2024南昌市模拟]已知公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn＝2a1－2qn，则a1＝（　B　）A.12B.1C.2D.4解析　S1＝2a1－2q⇒a1＝2q　①，S2＝2a1－2q2⇒a1＋a2＝2a1－2q2⇒a2＝a1－2q2　②，又{an}是等比数列，∴a2＝a1q（q≠0）　③，由①②③得，4q2＝2q，解得q＝12，∴a1＝1.故选B.2.[2023湖北黄冈模拟]已知数列{an}是正项等比数列，数列{bn}满足bn＝log2an.若a2a5a8＝212，则b1＋b2＋b3＋…＋b9＝（　C　）A.24B.32C.36D.40解析　因为{an}是正项等比数列，a2a5a8＝212，所以a53＝212＝（24）3，则a5＝24，所以b1＋b2＋b3＋…＋b9＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝log2（a1a2a3·…·a9）＝log2a59＝log2（24）9＝log2236＝36.故选C.3.[2024山东济南联考]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝5S2，S6＝21，则S8＝（　C　）A.－120B.－85C.85D.120解析　根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由S4＝5S2，知q≠1，则有a1（1－q4）1－q＝5a1（1－q2）1－q，变形可得q2＝4，则q6＝（q2）3＝64，又由S6＝a1（1－q6）1－q＝－63a11－q＝21，得a11－q＝－13，所以S8＝a1（1－q8）1－q＝a1[1－（q2）4]1－q＝－13×（－255）＝85.故选C.4.[2023济南市模拟]在数列{an}中，若an＝2n＋2n－1×3＋2n－2×32＋2n－3×33＋…＋22×3n－2＋2×3n－1＋3n，则a2023＝（　C　）A.32023－22023B.3×22023－32024C.32024－22024D.2×32023－22024解析　因为an＝2n＋2n－1×3＋2n－2×32＋2n－3×33＋…＋22×3n－2＋2×3n－1＋3n＝2n[1＋32＋（32）2＋…＋（32）n]＝2n×1×[1－（32）n+1]1－32＝3n＋1－2n＋1，所以a2023＝32024－22024，故选C. 5.公元前1650年左右的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗.”在上述问题中，第一人分得玉米（　C　）A.70×89810－1斗B.10×810810－710斗C.10×89810－710斗D.10×88810－710斗解析　设第i个人分到的玉米斗数为ai（i＝1，2，…，9，10），则{ai}是公比为78的等比数列.由题意知a1[1－（78）10]1－78＝10，所以a1＝1081－（78）10＝10×89810－710.故选C.6.[2024广东七校联考]在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0＜q＜1是数列{an}是递减数列的（　C　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　由已知得an＝qn－1，当0＜q＜1时，an＞0，0＜an+1an＝q＜1，即an＋1＜an，所以数列{an}是递减数列，故充分性成立；若数列{an}是递减数列，则0＜an+1an＜1，即0＜q＜1，故必要性成立.所以0＜q＜1是数列{an}是递减数列的充要条件.故选C.7.[2024河南省模拟]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比q≠－1，若S12＝S4＋16S8，则公比q＝（　B　）A.3B.±2C.2D.±3解析　由题意可知，公比q≠1.由{an}是等比数列，得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，且公比为q4，已知S12＝S4＋16S8，则S12－S8＝S4＋15S8＝S4＋15（S8－S4＋S4）＝16S4＋15（S8－S4），即S4q8＝16S4＋15S4q4，当S4≠0时，两边同除以S4得，q8－15q4－16＝0，解得q4＝－1（舍）或q4＝16，则q＝±2.当S4＝0时，此时S4＝a1（1－q4）1－q＝0，由a1≠0，解得q＝－1（舍去）.故选B.8.[2024广东珠海市联考]在正项等比数列{an}中，a52＋2a6a8＋a8a10＝100，则a5＋a9＝　10　.解析　a52＋2a6a8＋a8a10＝100⇒a52＋2a5a9＋a92＝100⇒（a5＋a9）2＝100，因为{an}为正项等比数列，所以a5＋a9＝10.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a10＝2a42，且S4－S12＝λS8，则λ＝　－2　. 解析　设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a2a10＝a62＝2a42，得（a4q2）2＝2a42，得q4＝2，又S4－S12＝－（a5＋a6＋…＋a12）＝－q4（a1＋a2＋…＋a8）＝λS8，所以λ＝－q4＝－2.10.[2024福州市一检]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋2.（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝log2a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解析　解法一　（1）由an＋1＝Sn＋2得a2＝S1+2，a3＝S2+2.设等比数列{an}的公比为q（q≠0），所以a1（q－1）=2，a1（q2－q－1）=2，解得a1=2，q=2，所以an＝2n.（2）bn＝log2a2n－1＝log222n－1＝2n－1，故b1＝1，bn－bn－1＝2n－1－[2（n－1）－1]＝2（n≥2），所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，所以Tn＝n（b1＋bn）2＝n（1+2n－1）2＝n2.解法二　（1）因为an＋1＝Sn＋2　①，所以当n≥2时，an＝Sn－1＋2　②，①－②得an＋1＝2an（n≥2），所以等比数列{an}的公比q＝an+1an＝2.由①式得a2＝a1＋2，得a1＝2，所以an＝2n.（2）Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2（a1·a3·…·a2n－1）＝log221＋3＋…＋（2n－1）＝log22[1+（2n－1)]n2＝n2. 11.正项等比数列{an}满足a1a3＝116，2a4＋a3＝a2，则1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋（－1）n＋11an＝（　D　）A.23[1＋（－2）n]B.23（1－2n）C.23（1＋2n）D.23[1－（－2）n]解析　由题意得，a1a3＝a22＝116，因为数列{an}为正项等比数列，所以a2＝14.设数列{an}的公比为q，则q＞0，由2a4＋a3＝a2，得2q2＋q－1＝0，所以q＝12，所以a1＝12，所以an＝12n.令bn＝（－1）n＋11an，则bn＝－（－2）n，即{bn}是以2为首项，－2为公比的等比数列，所以1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋（－1）n＋11an＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn＝2[1－（－2）n]1－（－2）＝23[1－（－2）n].故选D.12.[2024辽宁大连二十四中模拟]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，∀m，n∈N*，Sm＋n＝SmSn，则（　B　）A.{an}是等比数列B.a4＝54C.a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝38D.Sn＝3n解析　令m＝1，可得Sn＋1＝SnS1＝Sna1＝3Sn，又因为S1≠0，所以{Sn}是首项为3，公比为3的等比数列，所以Sn＝3n，所以a4＝S4－S3＝34－33＝54，所以B选项正确，D选项错误；由a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，可得a22≠a1a3，所以数列{an}不是等比数列，所以A选项错误；因为a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S4＝39－34＞38，所以C选项错误.故选B.13.已知公比q＞1的等比数列{an}满足a52＝a10，2（an＋an＋2）＝5an＋1.若bn＝（n－λ）an（n∈N*），且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　（－∞，3）　.解析　由2（an＋an＋2）＝5an＋1得，2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12（舍去），由a52＝a10得，（a1q4）2＝a1q9，解得a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n，所以bn＝（n－λ）2n（n∈N*），所以bn＋1＝（n＋1－λ）·2n＋1.因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1＞bn，所以（n＋1－λ）2n＋1＞（n－λ）2n，化简得λ＜n＋2.因为n∈N*，所以λ＜3.14.[2024河南联考]已知数列{an}的首项为2，等比数列{bn}满足bn＝an+1an，且b1012＝1，则a2024＝　2　. 解析　设等比数列{bn}的公比为q，则bn＝b1·qn－1＝an+1an，所以可得anan－1＝b1·qn－2，an－1an－2＝b1·qn－3，…，a2a1＝b1·q0，由累乘可得anan－1·an－1an－2·…·a2a1＝b1n－1·q0＋1＋2＋…＋（n－2）＝b1n－1·q（n－2)(n－1）2，整理可得an＝a1·bn－11·q（n－2)(n－1）2，所以a2024＝a1·b12023·q2022×20232＝2b12023·q1011×2023＝2（b1·q1011）2023＝2b10122023＝2.15.[2024贵阳市模拟]设Sn为数列{an}的前n项和.已知4an－3Sn＝n.（1）证明：数列{an＋13}是等比数列.（2）设bn＝log2（3an＋1），求数列{1bnbn+1}的前n项和Tn.解析　（1）∵4an－3Sn＝n　①，∴当n≥2时，4an－1－3Sn－1＝n－1　②，①－②，得4an－4an－1－3an＝1，即an＝4an－1＋1，∴an＋13＝4an－1＋43＝4（an－1＋13），∴数列{an＋13}是公比为4的等比数列.（2）当n＝1时，4a1－3a1＝a1＝1，∴an＋13＝（a1＋13）×4n－1＝4n3，∴an＝4n3－13，∴bn＝log2（3an＋1）＝2n，∴1bnbn+1＝12n（2n+2）＝14n（n+1）＝14（1n－1n+1），∴Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn+1＝14（1－12＋12－13＋…＋1n－1n+1）＝14（1－1n+1）＝n4（n+1）.16.已知数列{an}的各项均为正数，数列{bn}，{cn}满足bn＝an+2an，cn＝anan+12.（1）若数列{an}为等比数列，求证：数列{cn}为等比数列.（2）若数列{cn}为等比数列，且bn＋1≥bn，求证：数列{an}为等比数列.解析　（1）设数列{an}的公比为q（q＞0），因为cn＝anan+12，所以cn+1cn＝an+1·an+22an·an+12＝q3（q3为大于0的常数），所以数列{cn}为等比数列. （2）设数列{cn}的公比为q1，则cn+1cn＝an+1·an+22an·an+12＝an+22an·an+1＝q1，又cn+3cn+2＝an+3an+42an+2an+32＝an+42an+2an+3＝q1，则an+22an·an+1＝an+42an+2·an+3，所以an+42an+22＝an+2·an+3an·an+1，又bn＝an+2an，所以bn+22＝bn＋1·bn.因为bn＋1≥bn＞0，所以bn＋2≥bn＋1，所以可得bn+22≥bn+12≥bn＋1·bn，所以bn＋1bn≥bn+12≥bn＋1bn，所以bn＋1＝bn，所以an+3an+1＝an+2an，即an＋3＝an＋1·an+2an.因为数列{cn}是等比数列，由cn+1cn＝cn+2cn+1，得an+22an·an+1＝an+32an+1·an+2，把an＋3＝an＋1·an+2an代入上式并化简，得an+12＝an·an＋2，所以数列{an}为等比数列.17.[2024山东省北镇中学模拟]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足anSn＝22n－1－2n－1，设bn＝log2（Sn+1），将数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}，则c2023＝（　B　）A.4048B.2023C.2022D.4046解析　令数列{an}的公比为q，因为an＞0，所以a1＞0，q＞0.因为anSn＝22n－1－2n－1，所以当n＝1时，a12＝21－20＝1，即a1＝1或a1＝－1（舍去），当n＝2时，a2S2＝23－21＝6，即q（1＋q）＝6，解得q＝2或q＝－3（舍去），所以an＝2n－1，Sn＝1×（1－2n）1－2＝2n－1，即bn＝log2（Sn+1）＝n.因为数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}，所以n＝k2，k∈N*，此时bk2＝k2＝k，即cn＝n，所以c2023＝2023.故选B.