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高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和知能训练轻松闯关文北师大版
高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和知能训练轻松闯关文北师大版
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第3讲等比数列及其前n项和1.已知数列{an},则“an,an+1,an+2(n∈N*)成等比数列”是“a=anan+2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.显然,n∈N*,an,an+1,an+2成等比数列,则a=anan+2,反之,则不一定成立,举反例,如数列为1,0,0,0,….2.如果数列a1,,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5等于( )A.32 B.64C.-32D.-64解析:选A.易知数列a1,,,,,…,,…的通项为=(-)n-1,故a5=a1····=1×(-)×2×(-2)×4=32.3.已知数列{an}满足1+log3an=log3an+1(n∈N*)且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是( )A.B.-C.5D.-5解析:选D.由1+log3an=log3an+1(n∈N*),得an+1=3an,即数列{an}是公比为3的等比数列.设等比数列{an}的公比为q,又a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)=log[q3(a2+a4+a6)]=log(33×9)=-5.4.(2022·莱芜模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=3,an+1-an==3,n∈N*,若数列{cn}满足cn=ban,则c2016=( )A.92015B.272015C.92016D.272016解析:选D.由已知条件知{an}是首项为3,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n,bn=3n.又cn=ban=33n,所以c2016=33×2016=272016.5.(2022·开封一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=2n(n∈N*),则下列数列中一定为等比数列的是( )A.{an}B.{an-1}C.{an-2}D.{Sn}解析:选C.由Sn+an=2n(n∈N*),①可得Sn-1+an-1=2(n-1)(n≥2,n∈N*),②,①4\n-②得an=an-1+1(n≥2,n∈N*),所以an-2=(an-1-2)(n≥2,n∈N*),且a1=1,a1-2=-1≠0,所以{an-2}一定是等比数列,故选C.6.(2022·福州质检)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn,若a3a4a8=8,则Ⅱ9=( )A.512B.256C.81D.16解析:选A.由题意可知,a3a4a7q=a3a7a4q=a3a7a5=a=8,Ⅱ9=a1a2a3…a9=(a1a9)·(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=a,所以Ⅱ9=83=512.故选A.7.(2022·高考广东卷)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=________.解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=a·c=(5+2)(5-2)=1.又b>0,所以b=1.答案:18.(2022·北京海淀区高三检测)已知数列{an}满足a1=2且对任意的m,n∈N*,都有=an,则a3=________;{an}的前n项和Sn=________.解析:因为=an,所以an+m=an·am,所以a3=a1+2=a1·a2=a1·a1·a1=23=8;令m=1,则有an+1=an·a1=2an,所以数列{an}是首项为a1=2,公比q=2的等比数列,所以Sn==2n+1-2.答案:8 2n+1-29.(2022·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列,若a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=________.解析:设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质知a5=a2q3,求得q=,所以a1=4.a2a3==a1a2,anan+1==an-1an(n≥2).设bn=anan+1,可以得出数列{bn}是以8为首项,以为公比的等比数列,所以a1a2+a2a3+…+anan+1为数列{bn}的前n项和,由等比数列前n项和公式得a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n).答案:(1-4-n)10.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=________.解析:依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15011.已知等差数列{an}满足a2=2,a5=8.4\n(1)求{an}的通项公式;(2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则由已知得所以a1=0,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-2.(2)设等比数列{bn}的公比为q,则由已知得q+q2=a4.因为a4=6,所以q=2或q=-3.因为等比数列{bn}的各项均为正数,所以q=2.所以{bn}的前n项和Tn===2n-1.1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( )A.2B.C.D.3解析:选B.由等比数列的性质得:S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是,由已知得S6=3S3,所以=,即S9-S6=4S3,S9=7S3,所以=.2.(2022·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求等比数列{an}的通项公式;(2)对n∈N*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)因为a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0,因为q≠1,所以q=,所以等比数列{an}的通项公式为an=.(2)bn=·3n=,Tn=×=.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求an与bn;4\n(2)设cn=3bn-λ·2,若数列{cn}是递增数列,求λ的取值范围.解:(1)由已知可得所以q2+q-12=0,解得q=3或q=-4(舍去),从而a2=6,所以an=3n,bn=3n-1.(2)由(1)知,cn=3bn-λ·2=3n-λ·2n.由题意,cn+1>cn对任意的n∈N*恒成立,即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n恒成立,亦即λ·2n<2·3n恒成立,即λ<2·恒成立.由于函数y=是增函数,所以=2×=3,故λ<3,即λ的取值范围为(-∞,3).4
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:57:07
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文章作者:U-336598
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