2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.3　函数的奇偶性、周期性

§2.3　函数的奇偶性、周期性考试要求　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　×　)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　)12 (3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　×　)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(　√　)教材改编题1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)A．单调递增，且有最小值f(1)B．单调递增，且有最大值f(1)C．单调递减，且有最小值f(2)D．单调递减，且有最大值f(2)答案　A解析　偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．对照选项，A正确．2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.答案　－6解析　因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2023)＝________.答案　－1解析　因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.题型一　函数奇偶性的判断例1　(多选)下列命题中正确的是(　　)A．奇函数的图象一定过坐标原点B．函数y＝xsinx是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数y＝是奇函数答案　BC解析　对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，因为函数y＝xsinx的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；12 对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；对于D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．思维升华　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1　已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案　C解析　选项A，f(x)g(x)＝(ex＋e－x)sinx，f(－x)g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(ex＋e－x)sinx＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；选项B，|f(x)|g(x)＝|sinx|(ex＋e－x)，|f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋ex)＝|sinx|(ex＋e－x)＝|f(x)|g(x)，是偶函数，判断错误；选项C，f(x)|g(x)|＝|ex＋e－x|sinx，f(－x)|g(－x)|＝|e－x＋ex|sin(－x)＝－|ex＋e－x|sinx＝－f(x)|g(x)|，是奇函数，判断正确；选项D，|f(x)g(x)|＝|(ex＋e－x)sinx|，|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋ex)sin(－x)|＝|(ex＋e－x)sinx|＝|f(x)g(x)|，是偶函数，判断错误．题型二　函数奇偶性的应用命题点1　利用奇偶性求值(解析式)例2　(1)(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b等于(　　)A．3B.C．－D．－答案　B解析　由已知得，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－ax3＋b，∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x3＋1＝－ax3＋b，12 ∴a＝－1，b＝1，∴2a＋b＝2－1＋1＝.(2)(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)A．2－x－x－1B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1D．－2－x＋x＋1答案　D解析　当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1.命题点2　利用奇偶性解不等式例3　函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式>0的解集为(　　)A．(－2,2)B．(－∞，0)∪(0,2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案　D解析　由于f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(－x)＝－f(x)可得，＝＝>0，由于x在分母位置，所以x≠0，当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2；当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2；综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．思维升华　(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．12 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝sinx＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于(　　)A．1B．3C．4D．5答案　D解析　根据题意f(a)＝sina＋a3＋＋3＝1，即sina＋a3＋＝－2，所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋＋3＝－＋3＝2＋3＝5.(2)已知函数f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)<f(2)，则实数x的取值范围是(　　)A．(1,4)B.∪(4，＋∞)C.∪(1,4)D.答案　D解析　依题意，函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，则f(log2x)<f(2)等价于|log2x|<2，∴－2<log2x<2，解得<x<4.(3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.答案　1解析　方法一　(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二　(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.方法三　(转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，12 解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.题型三　函数的周期性例4　(1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f 的值等于(　　)A.B.C.D．－答案　D解析　∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，∴f ＝f ＝f ＝f ＝－f ＝－f ＝－.(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2,4]上的解析式为____________________．答案　f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]解析　根据题意，设x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，则有4－x∈[0,2]，当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]．思维升华　(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练3　(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则(　　)A．f(2023)＝0B．f(x)的值域为[－1,2]C．f(x)在[4,6]上单调递减12 D．f(x)在[－6,6]上有8个零点答案　AB解析　f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6,6]上有6个零点，所以D错误．课时精练1．(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(　　)A．y＝2x3＋4xB．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x|D．y＝2x－2－x答案　ABD解析　对于A，定义域为R，且f(－x)＝－2x3－4x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝6x2＋4>0，所以y＝2x3＋4x在(0,1)上单调递增，故A满足题意；对于B，定义域为R，f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝1－cosx≥0，且y′不恒为0，所以y＝x＋sin(－x)在(0,1)上单调递增，故B满足题意；对于C，定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝log2|x|＝f(x)，故为偶函数，故C不满足题意；对于D，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，为奇函数，又y′＝2xln2＋2－xln2>0，所以y＝2x－2－x在(0,1)上单调递增，故D满足题意．2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件12 D．既不充分也不必要条件答案　A解析　偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f ＋f(2)等于(　　)A．0B．2C．4D．－2答案　D解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0，f ＝f ＝－f ＝＝－2，∴f ＋f(2)＝－2.4．(2022·亳州模拟)已知函数f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－0.2)，b＝f(lgπ)，c＝f(log0.26)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)A．a<b<cB．b<c<aC．b<a<cD．c<b<a答案　C解析　2－0.2<20＝1，lgπ>0，log0.26<0，因为f(－x)＝(－x)2＋log2|－x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以只需判断2－0.2，lgπ，－log0.26的大小即可，－log0.26＝log0.2>1,2－1<2－0.2<20＝1,0<lgπ<lg＝，所以－log0.26>1>2－0.2>lgπ>0，当x>0时，y＝x2，y＝log2x都单调递增，所以f(x)＝x2＋log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以c＝f(log0.26)＝f(－log0.26)>a＝f(2－0.2)>b＝f(lgπ)．5．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋112 答案　B解析　f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.6．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　)A．函数f(x)的一个周期为4B．f(2022)＝1C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log2(4－x)D．函数f(x)在[0,2021]内有1010个零点答案　AC解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为4，故A正确；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；当x∈[2,3]时，x－2∈[0,1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝f(2021)＝0，于是函数f(x)在[0,2021]内有1011个零点，故D错误．7．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________.答案　cos2x(答案不唯一)解析　y＝cos2x满足定义域为R，最小正周期T＝＝π，且为偶函数，符合要求．8．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(lnx)＋f(lnx－1)>0的解集是________．答案　(，＋∞)解析　因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其为奇函数，又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，则原不等式等价于f(lnx)>f(1－lnx)，也即lnx>1－lnx，整理得lnx>，解得x>，故不等式的解集为(，＋∞)．9．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．12 解　(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)．(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解　当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)解　f(0)＝0,f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0.12 11．(2023·廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是(　　)A．f(0)＝2B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数D．f(2)＝－1答案　C解析　因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B对；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D对．12．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋ex，则f ，f ，f 从小到大的排列是________．答案　f <f <f 解析　由题意知f(x＋1)＝，则f(x＋2)＝＝f(x)，故函数y＝f(x)的周期为2，f ＝f ，f ＝f ＝f ＝f ，f ＝f ＝f ，∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋ex单调递增，∴f <f <f ，12 故f <f <f .13．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝______，b＝______.答案　－　ln2解析　f(x)＝ln＋b＝ln＋lneb＝ln.∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝ln＝0，∴＝|1－x2|.当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，[(a＋1)2e2b－1]＋(1－a2e2b)x2＝0对任意的x恒成立，则解得当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝x2－1时，[(a＋1)2e2b＋1]－(a2e2b＋1)x2＝0对任意的x恒成立，则无解．综上，a＝－，b＝ln2.14．已知函数f(x)＝在区间[－3,3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________．答案　2解析　f(x)＝＝＝＋1，令g(x)＝f(x)－1＝，则g(－x)＝－＝－g(x)，∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.12