【红对勾】（新课标）2023高考数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性课时作业 理.DOC

课时作业6　函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是(　　)A．f(x)＝2x－B．f(x)＝x3sinxC．f(x)＝2cosx＋1D．f(x)＝x2＋2x解析：令f(x)＝2x－＝2x－2－x，其定义域为R，且f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．答案：A2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(－)＝(　　)A．0B．1C．－1D．2解析：由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f(－)＝－f()．又因为y＝f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f()，因此f(－)＝0，故选A.答案：A3．(2014·大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)A．－2B．－1C．0D．1解析：∵f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋2)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x)是以8为周期的函数，∴f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.答案：D4．(2014·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(　　)6\nA．f(x)＝B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)解析：f(x)＝f(2a－x)可得函数关于直线x＝a对称，结合选项，只有D选项中函数有对称轴，故选D.答案：D5．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数解析：由题知，f(x)＝x－[x]＝据此画出f(x)的部分图象如图所示：由图象知，f(x)为周期为1的周期函数．答案：D6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式<0的解集为(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：如图，作出f(x)的草图：由<0可知x，f(x)异号，∴不等式的解为－3<x<0或0<x<3.6\n答案：B二、填空题7．(2014·新课标卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.解析：y＝f(x)为偶函数，知f(x)＝f(－x)，图象关于x＝2对称，知f(2－x)＝f(2＋x)．f(－1)＝f(1)＝f[2＋(－1)]＝f[2－(－1)]＝f(3)＝3.答案：38．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.解析：令x<0，∴－x>0，g(－x)＝－2x－3，∴g(x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.答案：2x＋39．(2014·湖南卷)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.解析：因为f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝ln(e－3x＋1)＋a(－x)＝ln(e3x＋1)－3x－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，则－3－a＝a，得a＝－.答案：－三、解答题10．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．(1)求实数a的取值范围．(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．解：(1)f(x)＝要使函数f(x)有最小值，需所以－2≤a≤2，即当a∈[－2,2]时，f(x)有最小值．(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数，6\n所以g(0)＝0.设x>0，则－x<0，所以g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，所以g(x)＝11．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．解：(1)因为f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，所以(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0，对一切x∈R恒成立，所以k＝－1.(2)因为x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，所以1－k<22x对x≥0恒成立，所以1－k<(22x)min.因为y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，所以(22x)min＝1.所以k>0.1．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于(　　)A．－B．－C．－D．－解析：由f(t)＝f(1－t)，得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)，所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，所以f(x)的周期为2.又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，所以f(3)＋f＝f(1)＋f＝0－2＝－.故选C.答案：C6\n2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，f(0)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝log2x，则在(8,10)内满足方程f(x)＋1＝f(1)的实数x的值为________．解析：根据已知得f(－x)＝f(x)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(x＋1)＝－f(x－1)，以x＋1代x，得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4为函数f(x)的一个周期．再由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，以－x＋1代x，可得f(x)＝－f(2－x)，当x∈[1,2)时，2－x∈(0,1]，所以当x∈[1,2)时，f(x)＝－log2(2－x)．当x∈(8,9]时，x－8∈(0,1]，此时f(x)＝f(x－8)＝log2(x－8)，方程f(x)＋1＝f(1)，即f(x)＝－1，即log2(x－8)＝－1，解得x＝；当x∈(9,10)时，x－8∈(1,2)，此时f(x)＝f(x－8)＝－log2(8－x)，方程f(x)＋1＝f(1)，即f(x)＝－1，即－log2(10－x)＝－1，解得x＝8(舍去)．综上可知，在(8,10)内满足方程f(x)＋1＝f(1)的实数x的值为.答案：3．奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，且f(1)＝9，则f(2010)＋f(2011)＋f(2012)的值为________．解析：奇函数f(x)满足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，则f(2＋x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，f(2010)＋f(2011)＋f(2012)＝f(2)＋f(3)＋f(4)，令x＝0，则f(2)＝0；令x＝2，则f(4)＝f(0)＝0；由f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－9，故f(2010)＋f(2011)＋f(2012)＝－9.答案：－94．已知函数f(x)＝的定义域为(－1,1)，满足f(－x)＝－f(x)，且f()＝.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用单调性的定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(x2－1)＋f(x)<0.解：(1)由f(－x)＝－f(x)，得＝⇒b＝0，则f(x)＝，又由f()＝，所得a＝1；所以f(x)＝.(2)设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝－＝6\n又－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1－x1x2>0,1＋x>0,1＋x>0，从而f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)所以f(x)在(－1,1)上是增函数．(3)由f(x2－1)＋f(x)<0得f(x2－1)<－f(x)即f(x2－1)<f(－x)由(2)知f(x)在(－1,1)上是增函数，则⇒⇒－1<x<0或0<x<所以，原不等式的解集为(－1,0)∪(0，)．6