2024年高考数学一轮复习讲练测：数列 第02讲 等差数列及其前n项和（十大题型）（课件）

第02讲等差数列及其前n项和高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）理解等差数列的概念．（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．2023年甲卷（文）第5题，5分2023年I卷第7题，5分2022年上海卷第10题，5分2022年乙卷（文）第13题，5分（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算．（2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为_______________________.(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.2同一个常数dan－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*) 2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝.3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列.a1＋(n－1)d(n－m)dak＋al＝am＋anmd (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列. 常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A. 【例1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足：，且满足，则（）A．1012B．1013C．2022D．2023【答案】A【解析】因为，所以，两式相减，得：，所以数列中的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，所以．故选：A．题型一：等差数列的基本量运算 【对点训练1】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知设等差数列的公差为，则，，解得，，所以．故选：D．题型一：等差数列的基本量运算 【对点训练2】（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（）．A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】由题设，则，而，若等差数列公差为，则，所以，通项公式为，故．故选：C【解题方法总结】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．题型一：等差数列的基本量运算 【例2】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且．（1）求证：数列是等差数列；【解析】（1）数列中，，当时，，两式相减得，即，则，于是，因此数列是常数列，则，从而，即，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．题型二：等差数列的判定与证明 【对点训练3】（2023·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末）记为数列的前项和．（1）从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；①数列是等差数列；②（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．【解析】（1）选择条件①：，，两式相减可得，即，，两式相减可得，化简可得，，数列是等差数列．选择条件②：设数列的首项为，公差为，则，故，当时，，当时，，，又．数列是等差数列．（2）数列是等差数列，且公差，．，故．题型二：等差数列的判定与证明 【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．（1）证明：是等差数列，并求出的通项．【解析】（1）由，可得，∴，即，∵，即，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，即．【解题方法总结】判断数列是等差数列的常用方法（1）定义法：对任意是周一常数．（2）等差中项法：对任意，湍足．（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．题型二：等差数列的判定与证明 【例3】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为数列是等差数列，所以，即，所以，故选：A题型三：等差数列的性质 【对点训练5】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由等差数列性质和的求和公式，可得，所以．故选：A．题型三：等差数列的性质 【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，则等于（）A．7B．14C．21D．7（n-1）【答案】B【解析】因为，所以．故选：B【解题方法总结】如果为等差数列，当时，．题型三：等差数列的性质 【例4】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则______．【答案】【解析】由题意可知，，所以．故答案为：．题型四：等差数列前n项和的性质 【对点训练7】（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________【答案】【解析】由题设成等差数列，所以，则，所以．故答案为：题型四：等差数列前n项和的性质 【对点训练8】（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，解得，且，解得【解题方法总结】在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．题型四：等差数列前n项和的性质 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________．【答案】7【解析】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得则．又，∴当时，取得最大值．方法二：设等差数列的公差为．∵，∴，∴，解得，则，令解得，又，∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当取得最大值时，．故答案为：7．题型五：等差数列前n项和的最值 【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前项和最大．则满足的的最大值为__________．【答案】19【解析】由题可知，等差数列为递减数列，且，又，所以，解得，所以，所以，所以，解得，所以满足的的最大值为19．故答案为：19．题型五：等差数列前n项和的最值 【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为__．【答案】20【解析】因为，所以和异号，又数列的前项和有最大值，所以数列是递减的等差数列，所以，，又，所以，，所以的最大值为20．故答案为：20．【解题方法总结】求等差数列前项和最值的2种方法（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；②若，则满足的项数使得取得最小值．题型五：等差数列前n项和的最值 【例6】（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】A【解析】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为，依题意有：，，，公差，则，所以谷雨这一天的日影长度为尺，故选：A题型六：等差数列的实际应用 【对点训练11】（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个．已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（）A．102B．103C．104D．105【答案】C【解析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，由已知是的倍数，也是的倍数，故为的倍数，所以首项为，公差为的等差数列，所以，令，可得，又解得，且，故获得精品足球的人数为．故选：C．题型六：等差数列的实际应用 【例7】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列满足，．（1）求；（2）数列满足，为数列的前项和，求．【解析】（1）设等差数列的公差为d，因为，．则，解得，所以．（2）由（1）可得，则，所以．题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，．（1）记，求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求．【解析】（1）因为，令n取，则，即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以（2）令n取2n，则，所以，由（1）可知，；；所以【解题方法总结】对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，设，求的最小值．【解析】（1）因为，所以，所以当时，，所以；当时，，所以，所以，又满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，当时，；当时，；所以，当时，递减，所以；当时，，设，则，令得，此时单调递增，令得，此时单调递减，所以在时递减，在时递增，而，，且，所以；综上，的最小值为．题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：．【解题方法总结】由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：（1）首先找出零值或者符号由正变负的项（2）在对进行讨论，当时，，当时，题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 【例9】（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得公差，所以数列是递增数列，即充分性成立；若数列是递增数列，则必有，即必要性成立．故选：C．题型九：利用等差数列的单调性求解 【对点训练14】（2023·山西朔州·高二校考阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，因为数列是递增数列，所以，解得，即．故选：C．【解题方法总结】（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．题型九：利用等差数列的单调性求解 【例10】（2023·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为______．【答案】【解析】由题意可知，所以，同理得，所以．结合，可得．当时，取得最大值为，要使对恒成立，只需要，即可，所以，，即．所以正整数的值为．故答案为：．题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 【对点训练15】（2023·北京·高二北京市第一六六中学校考阶段练习）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是______．①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则③若数列对任意的，恒成立，则④若对任意的，均有，则恒成立【答案】①②④【解析】①当时，若，则数列有最大项为，若，则存在，有，所以数列有最大项为，故正确；②当时，存在，当时，，此时，故数列无最大项，所以若数列有最大项，则，故正确；③若，恒成立，则，故错误；④若对任意的，均有，则，若，则，若，则设（为不大于的最大整数），，则，故不成立，故正确；故答案为：①②④题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 04PARTONE真题感悟 1．（2023•甲卷（文））记为等差数列的前项和．若，，则A．25B．22C．20D．152．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，，（单位：成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则A．64B．96C．128D．160CCC 感谢观看THANKYOU