2023版高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件

第二讲　等差数列及其前n项和 课标要求考情分析1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系1.主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点.2.本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.难度为中低档 1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中项4.等差数列的前n项和公式 5.等差数列的前n项和公式与函数的关系 6.等差数列的常用性质(1)若数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}，{pan}(p是常数)都是等差数列.(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap. 7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列.(5)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列单调递增；若公差d<0，则数列单调递减；若公差d＝0，则数列为常数列. 题组一走出误区1.(多选题)下列命题正确的是()A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列B.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的C.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数D.若{an}是等差数列，公差为d，则数列{a3n}也是等差数列答案：BD 题组二走进教材2.(教材改编题)在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，B.100D.101an＝298，则n＝()A.99C.96答案：B 答案：A 题组三真题展现A.64B.100C.128D.132答案：C 5.(2020年全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案：25 考点一等差数列1.已知{an}是等差数列，且满足S10＝10，S30＝18，则S20＝()A.14B.15C.16D.17 解析：∵{an}是等差数列，且满足S10＝10，S30＝18，答案：C由等差数列的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴10，S20－10,18－S20成等差数列，∴2(S20－10)＝10＋18－S20，解得S20＝16.故选C. 答案：B 3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝()A.23B.32C.35D.38 解析：由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公答案：C 【题后反思】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 考点二等差数列的判定与证明 方法解读适合题型定义法若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列【题后反思】等差数列的判定与证明的方法 方法解读适合题型通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列(续表) 【变式训练】 考点三等差数列性质的应用考向1等差数列项的性质[例2](1)已知数列{an}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝()A.84B.70C.49D.42解析：因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝答案：D 答案：B (3)(2021年阜新期末)在等差数列{an}中，a1＋3a7＋a13＝120，则3a9－a13的值为()A.6B.12C.24D.48解析：在等差数列{an}中，a1＋3a7＋a13＝120，答案：D∴a1＋3(a1＋6d)＋(a1＋12d)＝120，∴a1＋6d＝24，∴3a9－a13＝3(a1＋8d)－a1－12d＝2(a1＋6d)＝2×24＝48.D正确. 考向2等差数列前n项和的性质[例3](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A.35B.42C.49D.63解析：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42，B正确.答案：B A.2B.－1C.1D.0.5答案：C 【题后反思】利用等差数列的性质解题的两个关注点 【考法全练】1.(考向1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A.20B.22C.24D.8解析：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故选C.答案：C 答案：C ⊙等差数列的前n项和及其最值 【规律方法】求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值. (2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值. 【高分训练】1.(2021年青龙模拟)(多选题)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝20，S7＝98，则()A.a1＋a5＝34B.|a8|＜|a9|C.Sn≤S9D.满足Sn＜0的n的最小值为17 答案：AD A.14C.16B.15D.17 答案：C