2024年高考数学一轮复习讲练测：数列 第02讲 等差数列及其前n项和（练习）（解析版）

第02讲等差数列及其前n项和（模拟精练+真题演练）1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（    ）A．10B．11C．12或13D．13【答案】C【解析】因为在等差数列中，所以，所以，又因为，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，所以当取最大值时，或13．故选：C．2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（    ）A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升【答案】B【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为，由题意可得，所以，故选：B3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（    ）A．54B．71C．80D．81【答案】D【解析】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以.故选：D.16 4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（    ）A．63B．C．45D．【答案】D【解析】因为数列是等差数列，则，可得，且，可得，所以.故选：D.5．（2023·北京海淀·校考三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以且，则，若，不妨令，则，，，，，，显然不单调，故充分性不成立，若为递减数列，则不是常数数列，所以单调，若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾；所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立，故“”是“为递减数列”的必要不充分条件.故选：B6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以,16 因为公差不为零,,所以，B正确，A错误，取,则,此时,C,D均不正确,故选：B.7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是D．的最大值是【答案】A【解析】由，得，即，所以数列为递增的等差数列.因为，所以，即，则，，所以当且时，；当且时，.因此，有最小值，且最小值为.故选：A.8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，，成等差数列，则，由于，则，故选：D.9．（多选题）（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d=−2，则（    ）A．=B．当n=6或7时，取得最小值C．数列的前10项和为50D．当n≤2023时，与数列（mÎN）共有671项互为相反数．16 【答案】AC【解析】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；对于B，由A的结论，，则，由d=−2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；对于C,,故C正确，对于D，由，则，则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，，可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，若，解可得，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．故选：AC．10．（多选题）（2023·江苏盐城·统考三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（    ）A．若，则B．若，，则C．数列可以是等差数列D．数列可以是等比数列【答案】BC【解析】若，当时，，解得，故A错；若，，当时，，解得，当时，，解得，，根据递推关系可知，当为奇数，即时，16 ，故B正确；若，则成立，故数列可以是等差数列，即C正确；若数列是等比数列，假设公比为，则由，得，两式相除得，，即，解得，不符合题意，则假设不成立，故D错.故选：BC11．（多选题）（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（    ）A．B．C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值【答案】ACD【解析】因为，，成等比数列，所以，即，整理得，因为，所以，所以，则，故A正确、B错误；当时单调递减，此时，所以当或时取得最大值，即，故C正确；当时单调递增，此时，所以当或时取得最小值，即，故D正确；故选：ACD12．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（    ）A．若，，则16 B．若，，则C．若，则数列是等比数列D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列【答案】ABD【解析】对于选项A，由，得，则，故A项正确；对于选项B，由得，所以为等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，故B项正确；对于选项C，因为，当时，，当时，，将代入，得，所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.对于选项D，设等差数列的公差为d，由等差数列前项和公式可得，所以与n无关，所以数列为等差数列，故D项正确.故选：ABD.13．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则16 ______．  【答案】/【解析】依题意，在数列中，，当时，，满足上式，因此，，数列的前项和为，则，所以.故答案为：14．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）设随机变量的分布列如下：123456P其中，，…，构成等差数列，则___________.【答案】【解析】因为，，…，构成等差数列，所以，因为，所以，故答案为：15．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为______．（写出满足题意的一个通项公式）16 【答案】（答案不唯一）【解析】由得，即．因为数列是等差数列，所以由等差数列的性质可知．设等差数列的公差为d，则，．因为存在最大值，所以公差，又因为d为奇数且，故可取．当时，，；当时，，；当时，，．故答案为：（答案不唯一）16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则______.【答案】【解析】因为数列是正奇数列，对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；当为偶数时，设，则为奇数，所以，则，所以.故答案为：.17．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．【解析】（1）设的公差为d，因为，16 所以，解得，又，所以．所以．（2）因为，所以，由，解得，所以．18．（2023·江苏·校联考模拟预测）设数列的前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.【解析】（1）令，得.当时，①，又②，①②两式相减，得，所以.所以数列是首项为－3，公比为2的等比数列，所以（2）假设数列中存在三项数列，，（其中）成等差数列，则，由（1）得，即，两边同时除以，得（*），因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，所以（*）式不成立，假设不成立.所以数列中得任意不同的三项均不能构成等差数列.19．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.16 (1)证明：数列是等差数列，(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.【解析】（1）由题知，是等比数列，设其公比为，由，可得：当时，，两式相减得，，故数列是等差数列.（2）由知：当时，，又，所以，由（1）设的公差为，则，由，则，，所以.即数列的前20项和为.20．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．(1)求；(2)设，若恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由题意得，，，…，数列是以为首项，公差的等差数列，16 ，，，，…，，将所有上式累加可得，．又也满足上式，．（2）由（1）得，，则，恒成立，，恒成立，，即的取值范围是．1．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）　　A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块16 【答案】【解析】方法一：设每一层有环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层中心的首项为，且公差，由等差数列的性质可得，，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块，方法二：设第环天心石块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，下层比中层多729块，，，，解得，，故选：．2．（2020•北京）在等差数列中，，．记，2，，则数列　　A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】【解析】设等差数列的公差为，由，，得，．由，得，而，可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知，，，为最大项，自起均小于0，且逐渐减小．数列有最大项，无最小项．故选：．16 3．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有　　个．【答案】98．【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各项均不相等，，，中不同的数值有：．故答案为：98．4．（2022•乙卷（文））记为等差数列的前项和．若，则公差　　．【答案】2．【解析】，，为等差数列，，，解得．故答案为：2．5．（2021•上海）已知等差数列的首项为3，公差为2，则　　．【答案】21．【解析】因为等差数列的首项为3，公差为2，则．故答案为：21．6．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则　　．【答案】．【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得，所以．16 故答案为：．7．（2020•海南）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为　　．【答案】．【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前项和为，故答案为：．8．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．【解析】（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．根据等差数列的性质，，故，根据可得，整理得，可得不合题意），故．（Ⅱ），，，，即，整理可得，当或时，成立，由于为正整数，故的最小正值为7．9．（2021•甲卷（理））记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．【解析】证明：设等差数列的公差为，由题意得；，则，所以，所以①；16 当时，有②．由①②，得③，经检验，当时也满足③．所以，，当时，，所以数列是等差数列．10．（2021•乙卷）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式．【解析】（1）证明：当时，，由，解得，当时，，代入，消去，可得，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列．（2）由题意，得，由（1），可得，由，可得，当时，，显然不满足该式，所以．16 16