2024年高考数学一轮复习讲练测：数列 第02讲 等差数列及其前n项和（十大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲等差数列及其前n项和目录考点要求考题统计考情分析（1）理解等差数列的概念．（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．2023年甲卷（文）第5题，5分2023年I卷第7题，5分2022年上海卷第10题，5分2022年乙卷（文）第13题，5分（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算．（2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．21 知识点一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．（2）等差中项若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．知识点二．等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和．知识点三．等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．（1）通项公式的推广：．（2）在等差数列中，当时，．特别地，若，则．（3），…仍是等差数列，公差为．（4），…也成等差数列，公差为．（5）若，是等差数列，则也是等差数列．（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．（7）若项数为偶数，则；；．（8）若项数为奇数，则；；．（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系21 ．数列是等差数列⇔（为常数）．知识点五．等差数列的前n项和的最值公差为递增等差数列，有最小值；公差为递减等差数列，有最大值；公差为常数列．特别地若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．知识点六．其他衍生等差数列．若已知等差数列，公差为，前项和为，则：①等间距抽取为等差数列，公差为．②等长度截取为等差数列，公差为．③算术平均值为等差数列，公差为．【解题方法总结】（1）等差数列中，若，则．（2）等差数列中，若，则．（3）等差数列中，若，则．（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．题型一：等差数列的基本量运算例1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足：，且满足，则（   ）A．1012B．1013C．2022D．2023例2．（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列的前项和是，则（   ）21 A．B．C．D．例3．（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（    ）．A．3B．5C．7D．9变式1．（2023·江西新余·统考二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（    ）A．B．C．2D．4变式2．（2023·广西·统考模拟预测）设为等差数列，若，则公差（    ）A．－2B．－1C．1D．2变式3．（2023·山西·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（    ）A．30B．28C．26D．13【解题方法总结】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．21 （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．题型二：等差数列的判定与证明例4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前项和.例5．（2023·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末）记为数列的前项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；①数列是等差数列；②(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．(1)证明：是等差数列，并求出的通项．(2)证明：．21 变式4．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列满足，，.(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，证明：数列为等差数列；(2)求数列的前50项和.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．(1)求证：为等差数列；(2)记，求数列的前2023项的和M．变式6．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式；(3)设是数列的前项和，求证：.【解题方法总结】21 判断数列是等差数列的常用方法（1）定义法：对任意是周一常数．（2）等差中项法：对任意，湍足．（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．题型三：等差数列的性质例7．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（    ）A．B．C．D．例8．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设为等差数列的前项和，若，则（    ）A．5B．6C．7D．8例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（    ）A．B．0C．2D．4变式7．（2023·全国·高三专题练习）如果等差数列中，，那么（    ）A．14B．12C．28D．36变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，则等于（    ）21 A．7B．14C．21D．7(n-1)变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，则（    ）A．30B．15C．5D．10【解题方法总结】如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．题型四：等差数列前n项和的性质例10．（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则______．例11．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______.例12．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.21 变式10．（2023·高三课时练习）已知数列与均为等差数列，且前n项和分别为与，若，则______．变式11．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）设等差数列的前项和为，若，，则_________变式12．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________变式13．（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，，前项和为，若，则______.变式14．（2023·全国·高三对口高考）已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为__________.21 变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则______.变式16．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）在等差数列中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且，则的通项公式为______.【解题方法总结】在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．题型五：等差数列前n项和的最值例13．（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.例14．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（    ）A．B．C．D．例15．（2023·四川·模拟预测）在数列中，若，前项和，则的最大值为______．21 变式17．（2023·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是________变式18．（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第______项.变式19．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知数列满足，则的最小值为_______.变式20．（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是______.变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前项和最大.则满足的的最大值为__________.变式22．（2023·高三课时练习）记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝______．21 变式23．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为__________.变式24．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最小值时，的值为________.变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为__．【解题方法总结】求等差数列前项和最值的2种方法（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；②若，则满足的项数使得取得最小值．题型六：等差数列的实际应用例16．（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（    ）A．尺B．尺C．尺D．尺21 例17．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（    ）A．102B．103C．104D．105例18．（2023·全国·高三专题练习）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（    ）A．12B．26C．42D．50变式26．（2023·全国·高三专题练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（    ）A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年变式27．（2023·海南海口·校联考一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知201921 年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（    ）A．630万元B．350万元C．420万元D．520万元题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论例19．（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．例20．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列满足，．(1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求．例21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.(1)记，求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求.变式28．（2023·江苏南京·统考一模）已知数列和满足：.（1）若，求数列的通项公式；21 （2）若.求证：数列为等差数列；记数列的前项和为，求满足的所有正整数和的值.变式29．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，前n项和满足．（1）证明：为等差数列；（2）求．【解题方法总结】对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题例22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.例23．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．21 例24．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，其中，．(1)求数列的通项；(2)求数列的前n项和为．变式31．（2023·全国·高三专题练习）在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．(1)求，；(2)若，求【解题方法总结】由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：（1）首先找出零值或者符号由正变负的项（2）在对进行讨论，当时，，当时，题型九：利用等差数列的单调性求解例25．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．21 例26．（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例27．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（    ）A．B．C．D．变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ）A．B．C．D．变式33．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（    ）A．B．C．D．变式34．（2023·山西朔州·高二校考阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）A．B．C．D．21 【解题方法总结】（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．题型十：等差数列中的范围与恒成立问题例28．（2023·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为______.例29．（2023·北京·高二北京市第一六六中学校考阶段练习）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是______.①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则③若数列对任意的，恒成立，则④若对任意的，均有，则恒成立例30．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为______.变式35．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列满足:对21 恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是_________.变式36．（2023·广东佛山·高二校考阶段练习）已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______．变式37．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设等差数列的前n项和为.已知，.若存在正整数k，使得对任意的都有恒成立，则k的值为________.变式38．（2023·上海杨浦·统考二模）数列满足对任意恒成立，则_______.变式39．（2023·重庆九龙坡·高三统考期中）等差数列的前n项和记为，已知，，若存在正数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为_________．1．（2023•甲卷（文））记为等差数列的前项和．若，，则　　A．25B．22C．20D．1521 2．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则　　A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，，（单位：成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则　　A．64B．96C．128D．16021 21