2024年高考数学一轮复习讲练测：平面向量与复数 第02讲 平面向量的数量积及其应用（七大题型）（课件）

第02讲平面向量的数量积及其应用导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算2023年I卷第3题，5分2023年II卷第13题，5分2023年甲卷（理）第4题，5分2022年II卷第4题，5分平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 1.向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积，记作_____.∠AOB|a||b|cosθa·b 投影投影向量|a|cosθe 4.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝_________.a·c＋b·c 几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_______|a|＝__________夹角cosθ＝______cosθ＝______________a⊥b的充要条件a·b＝0_____________5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0 a∥b的充要条件a＝λb(λ∈R)_____________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)x1y2－x2y1＝0 常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 【例1】（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A．6B．8C．10D．14【答案】B【解析】由，且与的夹角为，所以.故选：B.题型一：平面向量的数量积运算 【对点训练1】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系：则，设，则且，，解得，，在矩形中，为的中点，所以，由，所以，，故选：D.【解题方法总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．题型一：平面向量的数量积运算 【例2】（2023·河南驻马店·统考二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．【答案】【解析】设向量，的夹角为，因为，所以．又，所以，所以．题型二：平面向量的夹角 【对点训练2】（2023·四川·校联考模拟预测）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.【答案】【解析】是夹角为的两个单位向量，则，，，，，，.故答案为：题型二：平面向量的夹角 【对点训练3】（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】，则，则，又，则故答案为：.【解题方法总结】求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．题型二：平面向量的夹角 【例3】（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量，，满足，，且.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则，可得，所以.故选：A题型三：平面向量的模长 【对点训练4】（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.【答案】【解析】为单位向量，且满足，所以，即，解得，所以.故答案为：.题型三：平面向量的模长 【对点训练5】（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量满足,且，则=_________________．【答案】【解析】由,得,所以.【解题方法总结】求模长，用平方，．题型三：平面向量的模长 【例4】（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为______.【答案】【解析】因为向量，，所以在方向上的数量投影为.故答案为：.题型四：平面向量的投影、投影向量 【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是________．【答案】【解析】因为向量、的夹角等于，所以向量在向量上的投影向量是，故答案为：.题型四：平面向量的投影、投影向量 【对点训练7】（2023·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.【答案】【解析】设，因为所以所以则向量在向量上的投影向量为：.故答案为：.【解题方法总结】设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．题型四：平面向量的投影、投影向量 【例5】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.【答案】【解析】由题意可得，因为，则，解得.故答案为：题型五：平面向量的垂直问题 【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.【答案】【解析】因为，所以，由题易知，，所以.故答案为：题型五：平面向量的垂直问题 【对点训练9】（2023·河南开封·统考三模）已知向量，，若，则______.【答案】13【解析】∵，，所以，又∵，∴，解得.故答案为：13【解题方法总结】题型五：平面向量的垂直问题 【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以．故选：C.题型六：建立坐标系解决向量问题 【对点训练10】（2023·河南安阳·统考三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以故选：C.题型六：建立坐标系解决向量问题【解题方法总结】建系必备（1）三角函数知识（2）向量三点共线知识． 【例7】（2023·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为______牛顿.【答案】6【解析】设三个力，，分别对于的向量为：则由题知所以所以又所以所以的大小为：6题型七：平面向量的实际应用 【对点训练11】（2023·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，则河水的流速是________．【答案】【解析】如图，用表示河水的流速，表示船的速度，则为船的实际航行速度．由图知，，，则．又，所以．即河水的流速是．故答案为：.题型七：平面向量的实际应用【解题方法总结】用向量方法解决实际问题的步骤 04PARTONE真题感悟 1．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则A．B．C．D．2．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则A．B．C．5D．63．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是A．，B．，C．，D．，DCD 感谢观看THANKYOU