2024年高考数学一轮复习讲练测：平面向量与复数 第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（六大题型）（课件）

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示导师：稻壳儿高考一轮复习讲练测2024 01020304目录CONTENTS考情分析网络构建知识梳理题型归纳真题感悟 01PARTONE考情分析 稿定PPT稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你02考点要求考题统计考情分析（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算2023年北京卷第3题，5分2022年I卷第3题，5分2021年乙卷（文）第13题，5分2022年乙卷（文）第3题，5分通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化． 02PARTONE网络构建 03PARTONE知识梳理题型归纳 1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__________.(2)零向量：长度为的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于长度的向量.(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向的向量.(6)相反向量：长度相等且方向的向量.方向长度(或模)01个单位相反相同相反 向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝_______；结合律：(a＋b)＋c＝_________2.向量的线性运算b＋aa＋(b＋c) 减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝_______，当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝___λ(μa)＝_______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb 3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得________.b＝λa4.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝____________.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个_______.5.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解.不共线有且只有基底互相垂直λ1e1＋λ2e2 6.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝_________.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，||＝___________________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1) 7.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔.x1y2－x2y1＝0 常用结论 5.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.常用结论6.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则【答案】C【解析】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若同向共线，，若反向共线，，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知.综上可知对于任意向量，必有，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.题型一：平面向量的基本概念 【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．题型一：平面向量的基本概念 【对点训练2】（2023·全国·高三对口高考）若，则，，（）A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B．一定不可能构成三角形C．都是非零向量时能构成三角形D．一定可构成三角形【答案】A【解析】ACD选项，若非零向量共线时，也能满足，但无法构成一个三角形，A正确，CD错误；B选项，当非零向量两两不共线时，可构成三角形，B错误.故选：A【解题方法总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．题型一：平面向量的基本概念 【例2】（2023·山东泰安·统考模拟预测）在中，点为中点，点在上且.记，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示：由，所以，又，，又因为为中点，，则，故选：B.题型二：平面向量的线性表示 【对点训练3】（2023·河北·统考模拟预测）已知为所在平面内一点，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，因为，所以是线段的四等分点，且,所以,故A,B错误；由，可得，故C正确，D错误，故选:C.【解题方法总结】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．题型二：平面向量的线性表示 【例3】（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得出，由得，因为三点共线，所以，解得.故选：D.题型三：向量共线的运用 【对点训练4】（2023·山西·高三校联考阶段练习）如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，因为N，P，C三点共线，所以，解得，所以，所以.故选：B.题型三：向量共线的运用 【对点训练5】（2023·全国·高三对口高考）设两个非零向量与不共线．(1)若，，求证三点共线．(2)试确定实数，使和共线．【解析】（1）因为，，，所以所以，共线，又因为它们有公共点，所以三点共线；（2）因为和共线，所以存在实数，使，所以，即.又，是两个不共线的非零向量，所以所以，所以或.【解题方法总结】要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=．题型三：向量共线的运用 【例4】（2023·上海·高三专题练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【解析】依题意，不共线，A选项，不存在使，所以和可以组成基底.B选项，不存在使，所以和可以组成基底.C选项，，所以和不能构成基底.D选项，不存在使，所以和可以组成基底.故选：C题型四：平面向量基本定理及应用 【对点训练6】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在中，点为与的交点，，则（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以为中点，三点共线，故可设，即，整理得，因为，所以，即，三点共线，可得，所以，解得，可得，则，.故选：B题型四：平面向量基本定理及应用 【对点训练7】（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，因为Q，M，A三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1，所以，化简整理得．故选：C．【解题方法总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点．题型四：平面向量基本定理及应用 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，且，则_____.【答案】【解析】，由可知解得故．故答案为：题型五：平面向量的直角坐标运算 【对点训练8】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知，，且，则点M的坐标为______.【答案】【解析】由题意得，所以.设，则，所以，解得，故点M的坐标为.故答案为：题型五：平面向量的直角坐标运算 【对点训练9】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知向量，，且，则实数______．【答案】±1【解析】由题意，得，所以，解得．故答案为：±1.【解题方法总结】（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．题型五：平面向量的直角坐标运算 【例6】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为A，B，C三点共线，则，，即，则，解得.故选：C题型六：向量共线的坐标表示 【对点训练10】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______.【答案】（答案不唯一）【解析】设，因为向量，且与的夹角为钝角，所以，所以，不妨令，则，故，故答案为：（答案不唯一）.题型六：向量共线的坐标表示 【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，向量，，若，则实数______.【答案】【解析】根据题意可知，不共线若，则，使得，即则可得，解得故答案为：．【解题方法总结】（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则．（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．题型六：向量共线的坐标表示 04PARTONE真题感悟 1．（2023•北京）已知向量，满足，，则A．B．C．0D．12．（2022•全国）已知向量，．若，则A．B．C．D．3．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则A．B．C．D．BAB 感谢观看THANKYOU