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2024年高考数学一轮复习讲练测:一元函数的导数及其应用(测试)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:一元函数的导数及其应用(测试)(解析版)
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第三章一元函数的导数及其应用(测试)时间:120分钟分值:150分第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2023·全国·模拟预测)已知函数,则( )A.12B.10C.8D.6【答案】B【解析】由题意知,所以,解得,则,故.故选:B2.(2023·四川凉山·三模)已知函数的导函数,若1不是函数的极值点,则实数a的值为( ).A.-1B.0C.1D.2【答案】D【解析】由题意可知,若1不是函数的极值点,则,即,当时,,故当,当,因此是的极值点,1不是极值点,故满足题意,故选:D3.(2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测)已知函数的导函数为,且满足,则( )A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于直线对称D.函数的图象关于点对称【答案】D【解析】由,可知函数的图象关于直线对称;对求导,得,则函数的图象关于点对称,所以ABC错误,D正确.故选:D.14 4.(2023·河南·校联考模拟预测)已知直线与曲线相切,则的值为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】设切点坐标为,因为,所以,所以切线的斜率,解得,又,即,所以.故选:A.5.(2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模)已知函数存在减区间,则实数的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】由题可知,因为函数存在减区间,则有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在单调递减,单调递增,所以,因为有解,所以,解得.故选:D.6.(2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测)已知,则的大小关系是( )A.B.14 C.D.【答案】C【解析】令函数,则恒成立,故函数在上单调递增,所以当时,,则,于是,即;当时,,则,所以,而,于是,即;综上:.故选:C7.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)英国数学家布鲁克·泰勒(BrookTaylor,1685.8~1731.11)以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式,我们可知:如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数,那么对于,有,若取,则,此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将,,,,等函数转化为多项式函数,通过计算多项式函数值近似求出原函数的值,如,,则运用上面的想法求的近似值为( )A.0.50B.C.D.0.56【答案】B【解析】由三角恒等变换的公式,化简得,又由,可得,所以.故选:B.8.(2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模)已知函数,若,不等式恒成立,则正实数的取值范围为( )A.B.C.D.14 【答案】B【解析】因为,其中,则,且不恒为零,所以,函数在上为增函数,又因为,故函数为奇函数,由可得,所以,,所以,,令,因为,当且仅当时,等号成立,所以,.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.(2023·安徽·校联考模拟预测)已知直线与曲线相切,则下列直线中可能与垂直的是( )A.B.C.D.【答案】AB【解析】的定义域为,,即直线的斜率,设与垂直的直线的斜率为,则,所以,.故选:AB.10.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)设函数在R上存在导函数,对任意的有,且在上,若,则实数a的可能取值为( )A.B.0C.1D.2【答案】AB【解析】令,即,则为奇函数,当时,,则在区间上单调递增,14 故在区间上单调递增,则在R上单调递增,∵,即,∴,解得,故A、B正确,C、D错误.故选:AB.11.(2023·湖南永州·统考一模)对于函数,则( )A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.函数与的图象有两个交点D.函数有两个零点【答案】AD【解析】,则,因为在恒成立.所以当时,,在单调递减;当时,,在单调递增;所以在处有极大值,没有极小值,故A正确,B错误;根据的单调性,画出函数图像,以及的图象,如图:由此可知,函数与的图象只有一个交点,故C错误;函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点,如下图所示:14 由此可知,函数与图像有两个交点,即函数有两个零点;故D正确.故选:AD.12.(2023·全国·模拟预测)设函数,若恒成立,则满足条件的正整数可以是( )A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】若恒成立,则恒成立,构建,则,∵,故,则有:当,即时,则当时恒成立,故在上单调递增,则,即符合题意,故满足条件的正整数为1或2;当,即时,令,则,故在上单调递减,在上单调递增,则,构建,则当时恒成立,故在上单调递减,则,∵,故满足的整数;综上所述:符合条件的整数为1或2或3,A、B、C正确,D错误.故选:ABC.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2023·四川成都·成都七中校考一模)函数的图象在处的切线方程为________.14 【答案】【解析】因为,则,,则,所以切线方程为,整理得.故答案为:14.(2023·广东佛山·校考模拟预测)写出一个同时具备下列性质①②③的函数______.①定义城为,②导函数;③值域为【答案】(答案不唯一)【解析】取,因为,解得,所以的定义城为,符合①;,符合②;因为,所以的值域为,符合③.故答案为:(答案不唯一)15.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数,若恰有两个极值点,则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】∵,为连续函数,为单调函数,所以在上无极值点;又在上至多有一个极值点,则的对称轴为,要使恰有两个极值点,∴和是必为的两个极值点,∴,解得:,所以是的极大值点,又在上单调递减,要使为的极值点,14 则在上单调递增,∴;综上所述:实数的取值范围为.故答案为:.16.(2023·河北·校联考三模)已知分别是函数图象上的动点,则的最小值为_________.【答案】【解析】因为反解得,所以与互为反函数,关于对称,所以的最小值为点到直线的距离的最小值的2倍,当曲线在点处的切线与平行时,点到直线的距离有最小值,,令,解得,所以,则点到直线的距离,所以的最小值为.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17.(10分)(2023·四川成都·成都七中校考一模)设函数,(1)求、的值;(2)求在上的最值.【解析】(1)因为,所以,取,则有,即;所以,取,则有,即.故,.(2)由(1)知,,14 则,所以、与,的关系如下表:0120单调递增极大值单调递减故,.18.(12分)(2023·北京西城·统考一模)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,证明:在上单调递增;(3)判断与的大小关系,并加以证明.【解析】(1),所以,. 所以曲线在点处的切线方程为.(2)由题设,.所以. 当时,因为,所以. 所以在上单调递增.(3).证明如下: 设. 则. 由(2)知在上单调递增,所以. 所以,即在上单调递增. 所以,即.19.(12分)(2023·全国·高三专题练习)为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召,小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业,生产某小型电子产品.经过市场调研,生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元,14 每生产万件,需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时,,在年产量不小于4万件时,.每件产品售价6元.通过市场分析,小王生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式.(年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.)(2)年产量为多少万件时,小王在这一产品的生产中所获年利润最大?最大年利润是多少?【解析】(1)由题意,当时,;当时,.所以.(2)当时,,令,解得.易得在上单调递增,在上单调递减,所以当时,.当时,,当且仅当,即时取等号.综上,当年产量为8万件时,所获年利润最大,为9万元.20.(12分)(2023·江西宜春·校联考模拟预测)设,,且a、b为函数的极值点(1)判断函数在区间上的单调性,并证明你的结论;(2)若曲线在处的切线斜率为,且方程有两个不等的实根,求实数m的取值范围.【解析】(1)依题设方程,即方程的两根分别为a、b∴∴因为,且,则,14 ∴,∴当且时,,∴在区间,上单调递增.(2)由,得,∴,∴,时或,当x在上变化时,,的变化情况如下:00++0极小值极大值∴的大致图象如图,∴方程有两个不等根时,转化为直线与函数的图象有两交点,则. 21.(12分)(2023·广西南宁·统考一模),(1)讨论的单调性;(2)当时,证明;(3)证明对于任意正整数,都有.【解析】(1)的定义域为,①若,当时,,所以在上单调递增;②若,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.14 综上所述,时,在上单调递增;时,在上单调递减,在上单调递增.(2)当时,由(1)知在上单调递减,在上单调递增,,即证.(3)由(2)知当且时,,对于任意正整数,令得,所以.即证:.22.(12分)(2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)已知函数和函数,且有最大值为.(1)求实数a的值;(2)直线y=m与两曲线和恰好有三个不同的交点,其横坐标分别为,,,且,证明:.【解析】(1)的定义域为R,且,,当时,,递增;当时,,递减;所以,所以,解得,又,所以a=1.(2)证明:由(1)可知:在递增,在递减,又,所以在递增,在递减,和的图象如图所示:14 设和的图象交于点A,则当直线y=m经过点A时,直线y=m与两条曲线和共有三个不同的交点,则,且,,,因为,所以,即,因为,,且在递增,所以,所以,因为,所以,即,因为,,且在递减,所以,所以,所以,即.14 14
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高考 - 一轮复习
发布时间:2024-09-09 12:40:02
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