2024年高考数学一轮复习讲练测：一元函数的导数及其应用 第03讲 极值与最值（练习）（解析版）

第03讲极值与最值（模拟精练+真题演练）1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数的极小值点为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为定义域为，所以，令得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值．故选：D2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则（    ）A．有一个极值点B．有两个零点C．点（0，1）是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】C【解析】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；因，，，所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：C.3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C．4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】的定义域为，在上单调递增，且，， 所以，．的定义域为，由，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，即．所以．故选：A5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵∴原式令，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，又∵，，，∴当时，，∴当，的取值范围是.故选：D.6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当时，函数取得最小值，则（    ） A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，函数取得最小值，所以，所以，得，又，根据函数在处取得最值，所以即得，所以，.故选：C.7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数m，t满足，且，则的最小值是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，解出，或（舍），所以，即，，令，，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，故选：B.8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数有两个极值点，又函数的定义域为，导函数为，所以方程由两个不同的正根，且为其根， 所以，，，所以，则，又，即，可得，所以或（舍去），故选：C.9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点【答案】AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数的导函数为，则（    ）A．B．是函数的极值点C．存在两个零点D．在(1，+∞)上单调递增【答案】AD【解析】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；，故A正确； ，得，中，，所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C错误.故选：AD11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．曲线在处的切线与直线垂直B．在上单调递增C．的极小值为D．在上的最小值为【答案】BC【解析】因为，所以，所以，故A错误；令，解得，所以的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，故B正确；当时，所以的单调递减区间为，所以的极小值为，故C正确；在上单调递减，所以最小值为，故D错误；故选：BC12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（    ）A．B．C．D．【答案】BD【解析】由题可知，，因为有两个不同的极值点，所以且，若，则．当时，，即，即，即，设，则，所以在上单调递减，则，则 ，所以．若，则．当时，，即，若，则当时，，不满足题意，所以，此时，即．设，则易得在上单调递减，在上单调递增，所以解得，所以．综上，的取值范围是，故选:BD．13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数在内有极小值，则的一个可能取值为______．【答案】（答案不唯一，只要符合均可）【解析】由得，若有极值点，则，所以，故当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故当时，取极小值，因此要使在内有极小值，则，故答案为：（答案不唯一，只要符合均可）14．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．【答案】/【解析】由，得，因为是函数的极小值点，所以，即，即，解得或．当时，， 当或时，，当时，，所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不符合题意；当时，，当或时，，当时，，所以在区间，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故又因为，，所以函数在的最大值为．故答案为：．15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是______．【答案】【解析】若无极值，则恒成立，即，解得；若无极值，则对恒成立，所以，即．所以与中恰有一个函数无极值，则或， 解得．16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】当时，，符合题意；当时，令，则，可化为，令，则，时，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为，对于任意，都有，等价于，即，对于①：由在上单调递增，且，可知，即且，在且的条件下，对②：由时，单调递减，可得，②成立，综上可知：实数的取值范围为.故答案为：17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：．【解析】（1）由题可知,,令,即,即有两个根,令,则, 由得,,解得;由得,,解得,所以在单调递增,单调递减,时,所以要使有两个根,则,解得,所以.（2）由(1)可知且，所以要证，只用证，等价于证明，而，即，故等价于证明，即证.令，则，于是等价于证明成立，设，，所以在上单调递增，故，即成立，所以，结论得证.18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数.(1)求的极值；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由得， 令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，（2）由恒成立可得恒成立，记，则，令，则，由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，因此在上单调递增，且，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故19．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，探究函数的单调性；(2)若函数有唯一的极值0，求的值.【解析】（1）依题意，，故，解得，则，故，则，故当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，则函数在上单调递减；（2），则，设唯一的极值点为，则由得，，（*）令，则，所以，记，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，且，所以当时，，从而单调递减，当时，，从而单调递增， 故，从而在上单调递增，又因为，所以，代入①可得，当时，，，因为是（*）的唯一零点，且，所以是唯一的极值点，且极值为0，满足题意.所以.20．（2023·四川成都·三模）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．【解析】（1）当时，函数．．．                   ∴曲线在点处的切线方程为．（2）由题知，不妨设．．               （i）当时，不妨设．在上恒成立．在上单调递增．                   又，∴当时，；当时，．           ，．∴当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增．是函数的极小值点．                   （ii）当时，不妨设． ，使得，且．在上单调递减．                 ∴当时，．∴当时，．在上单调递减．             不是函数的极小值点．综上所述，当是函数的极小值点时，的取值范围为．21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值；(3)证明：【解析】（1）.所以，，所以在点处切线的方程为，即.（2）当时，，，令，则.当时，，所以在单调递减.所以.所以，函数在上单调递减.函数在上单调递减.所以，即函数的最小值为.（3）由（2）可知在上单调递减.又因为，所以. 所以，即22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知．(1)求在处的切线方程；(2)若，记为函数g(x)的两个极值点，求的取值范围．【解析】（1），又切点切线方程为，即.（2）为两个极值点，有两个不等的正根，，，得，令，得，，，则，则，在递减，，即的取值范围为．1．（2017·全国·高考真题）若是函数的极值点，则的极小值为．A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，故选A．2．（2012·重庆·高考真题）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】D【解析】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.3．（2013·浙江·高考真题）已知e为自然对数的底数,设函数,则．A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【答案】C【解析】 当k=1时，函数f(x)=(ex−1)(x−1).求导函数可得f′(x)=ex(x−1)+(ex−1)=(xex−1)f′(1)=e−1≠0，f′(2)=2e2−1≠0，则f(x)在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f(x)=(ex−1)(x−1)2.求导函数可得f′(x)=ex(x−1)2+2(ex−1)(x−1)=(x−1)(xex+ex−2)∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0<x<1时(x0为极大值点)，f′(x)<0，故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数；在(x0,1)上是减函数，从而函数f(x)在x=1取得极小值．对照选项．故选C.4．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【答案】【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．5．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.【答案】1【解析】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.6．（2018·全国·高考真题）已知函数，则的最小值是_____________．【答案】【解析】［方法一］：【通性通法】导数法．令，得，即在区间内单调递增；令，得，即在区间内单调递减．则．故答案为：.［方法二］：三元基本不等式的应用因为，所以． 当且仅当，即时，取等号．根据可知，是奇函数，于是，此时．故答案为：.［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式，，当且仅当，即时，．根据可知，是奇函数，于是．故答案为：.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩，当且仅当时等号成立．故答案为：.［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知，当时，有最小值．故答案为：.［方法六］：配方法，当且仅当即时，取最小值．故答案为：.［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法因为，所以，即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．当时，，当时，因为，令，解得或，由，，，所以的最小值为．故答案为：.【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规； 方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．7．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．【解析】（I），则，又，则切线方程为；（II）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（III）由（II）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故， 所以实数b的取值范围.8．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【解析】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.9．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．【解析】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）[方法一]：转化为有分母的函数由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证．（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．综合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最优解】：转化为无分母函数由（1）得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，故；当时，，单增，故；综上所述，在恒成立.[方法三]：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．（ⅰ）当时，，所以，即，所以．（ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.