福州市联盟校2024年高二下学期期末考试数学试题 答案

福州市联盟校2023—2024学年高二第二学期期末联考数学试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A版必修一､必修二､选择性必修一､选择性必修二､选择性必修三（第八章除外）.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知由小到大排列的5个样本数据a,12,16,19,23的极差是15，则a的值为（）A.6B.7C.8D.92.已知钝角α满足cos2αα+=−1cos，则cosα=（）211A.−B.−C.0D.−或0322223.若圆Cxm:(−+−)(ym2)=1被直线lxy:210−+=平分，则m=（）211A.-2B.−C.D.323ππ4.已知函数fxxx()=++cossinxa，且f−=−2，则f=（）22A.a+2B.22a+C.24a+D.25.设αβ,是两个不同的平面，lm､是两条不同的直线，则“αβ⊥”的充分条件是（）A.lml⊥⊥βα,,∥mB.lm⊥β,∥α,lm⊥C.lm⊥β,∥α,l∥mD.l∥β,m∥α,l∥m6.在数学中，自然常数e≈2.71828.小布打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行排列得到密码.如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（）A.30B.32C.36D.48 22xy7.已知FF12,分别为双曲线C:22−=>>1(ab0,0)的左､右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于abAB,两点，若AF=2FB=4,AB=BF，则双曲线C的焦距为（）11222142137A.B.C.D.233328.若函数fx()=sinωx+>3cosωωx(0)在区间[ab,]上是减函数，且fa()=1,fb()=−1，ba−=π，则ω=（）12A.B.C.1D.233二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.13i+49.若复数z满足z=−i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）1i+A.复数z的虚部为iB.z的模为2C.z的共轭复数为1i−D.复数z在复平面内对应点在第一象限lnxx10.已知fx()=+，则（）xxlnA.ff(24)=()B.fx()在(0,e)上单调递增C.∃x，使fx()=−200D.∃x，使fx()=20011.数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，如星形线､卵形线､曼叶线等，心形线也是其中一种，因其形2222状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为xya++=yaxya+,0>，图形如图所示.当a=1时，点PxyPxy111222(,,,)()在这条心形线C上，且xx12≠0，则下列说法正确的是（） A.若OP1∥OP2，则PP12=2B.若OP1∥OP2，则OPOP12⋅=1C.OP+<OP412D.C上有4个整点（横､纵坐标均为整数的点）三､填空题：共3小题，每小题5分，共15分.212.已知集合Axx=>=<∈{∣∣1,}Bxxaa{}(R)，若AB∪=R，则a的取值范围为__________.13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为3π，则该圆锥的体积为__________.14.已知有穷数列{an}的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足aann+1−∈{1,2}，则符合上述要求的不同数列{an}的个数为__________.四､解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）ABC的内角ABC,,的对边分别为abc,,，已知(ab−−=−)(sinAsinBcCbA)sinsin.（1）求C；（2）若bac=+=1,7，求ABC的面积.16.（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD，过棱PD的中点E作EF⊥PC于点F，连接AF.（1）证明：PC⊥AF；（2）若CD=22AD=，求平面AEF与平面PAB所成角的正弦值. 17.（15分）221xy已知椭圆C:+=>>1(ab0)左､右顶点分别为AB,，短轴长为23，离心率为.22ab2（1）求椭圆C的方程；（2）若第一象限内一点P在椭圆上，且点P与PAB外接圆的圆心M的连线交x轴于点Q，设PQ=λQM，求实数λ的值.18.（17分）x−1已知函数fxa()=−−elnx1.（1）当a=1时，判断fx()的单调性；22a−（2）证明：当a1时，fx().a+119.（17分）*对于数列{an}，如果存在等差数列{bn}和等比数列{cn}，使得abcnnnn=+∈(N)，则称数列{an}是“优分解”的.（1）证明：如果{an}是等差数列，则{an}是“优分解”的；2*（2）记Δaaaannnn=−=−∈++11,ΔΔanΔann(N)，证明：如果数列{an}是“优分解”的，则2*2Δann=0(∈N)或数列{Δan}是等比数列；（3）设数列{an}的前n项和为Sn，如果{an}和{Sn}都是“优分解”的，并且aaa123=3,=4,=6，求{an}的通项公式. 福州市联盟校2023—2024学年高二第二学期期末联考·数学参考答案､解析及评分细则1.C由题知最小的数据是a，最大的数据是23，则极差为23−=a15，解得a=8.故选C.212.B因为cos2αα=2cos2−1，所以(2cosαα−+=−1)1cos，解得cosα=−或0（舍去）.故选B.213.D由题意得圆心(mm,2)在直线lxy:210−+=上，则mm−+=410，解得m=.故选D.34.B因为fx(−=−)xcos(−+−+=−x)sin(xaxx)cos−+sinxa，故fxfx()+−=()2a，而ππf−=-2，故fa=22+，故选B.225.C对于A，若lml⊥⊥βα,,∥m，则α∥β，故A错误；对于B，若lm⊥β,∥α,lm⊥，则平面α与平面β可以相交或平行，故B错误；对于C，因为ll⊥β,∥m，由线面垂直的性质，所以m⊥β，又因为m∥α，所以αβ⊥，故C正确；对于D，若l∥β,m∥α,l∥m，则平面α与平面β可以相交或平行，故D错误.故选C.6.C根据题意，分两种情况：①2排在最后一位，则倒数第二位也是2，再从剩下4个位置选出2个，安22排两个8，最后安排7和1，此时有CA42=12个不同的密码；②2不排在最后一位，则倒数第一位安排7114或1，将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列，此时有CA=24个不同的密码；242则一共有1224+=36个不同的密码.故选C.7.B如图，由于AF11=2FB=4,AB=BF2，有2a=BF21−BF=−=624，可得a=2，又由AF=AF+2a，可得AF=8设cab=22+，在212BFF12中，由余弦定理有 22244+−ccc364−32−8cos∠BFF12===.在AFF12中，由余弦定理有222××ccc82222164+−ccc644−48−12cos∠AFF12===.又由∠∠BFF12+=AFF12π，有242××ccc16422cc−−812221cos∠∠BFF12+=cosAFF120，可得+=0，解得c=，所以双曲线C的焦距为24cc3421.故选B.3π8.A由题知fx()=sinωωωx+=+3cosx2sinx，因为fa()=1,fb()=−1，所以3π1π1sinωa+=，sinωb+=−，又因为fx()在区间[ab,]上是减函数，所以3232π5ππ7ππωωa+=+2kkπ(∈ZZ),2b+=+kkπ(∈)，两式相减，得ω(ba−=)，因为ba−=π，363631所以ω=.故选A.3(13i1i+−)()42i+9.BCD由z=−=1−=+11i，对于A,z的虚部应为1，故A错误；对于B,z的模(1i1i+−)()2为11+=2，故B正确；对于C，z的共轭复数应为1i−，故C正确；对于D,z在复平面内对应点为(1,1)，显然在第一象限，故D正确.故选BCD.lnx≠010.AC要使函数fx()有意义，则有,0∴>x且x≠1，即fx()定义域x∈(0,1)∪+(1,∞)，故x>0lnxxln4ln2B错误；fx()=+,x∈(0,1)∪+(1,∞),=∴,f(2)=f(4)，故A正确；xxln42 1ln−−xxln1(lnx−+−1)(xxxxln)(ln)fx′()=+=，记gx()=−xln,xx∈(0,1)∪+(1,∞)，则222xlnx(ln)xx11x−gx′()=−=1,∴∈x(0,1)时，gx′()<∈+0,x(1,∞)时，gx′()>∴0,gx()在(0,1)上单调递xx减，在(1,+∞)上单调递增，∴>=gxg()(110)>，即xx−>ln0，又lnx−=10时，x=e，令111hxx()=+lnx，则hx()单调递增，又hh=−<10,(1)=>∴10,存在唯一x0∈,1，使得eeehx(0)=0，此时x00=−ln,xxx∴∈(0,0)时，fx′()>∈0,xx(0,1)时，fx′()<∈0,x(1,e)时，fx′()<∈+0,x(e,∞)时，fx′()>0，故fx()在(0,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，xxlnelne100∴fx()极大值=fx(0)=+=−2,()fx极小值=f(e)=+=+>e2.作出函数fx()的图lnxxlneee00象，如图，故C正确，D错误.故选AC.11.ACD依题意，心形线C的直角坐标方程为2222xyyxy++=+，过原点O(0,0)，由OP1∥xyyxy22++=22+,OP2，可知O，PP12,三点共线，可设直线PPy12:=tx，由消去y，得y=tx222(110+t)x−+tx+=tx.不妨设xx12><0,0，则2221+−tt−+−1tt2221+tx=,x=.1∴PP=+⋅−=+⋅txx1t=2，故A正确；12221212211++tt1+t22221+−tt−+−11ttOPOP12⋅=+⋅11t2⋅+⋅t22=，当t≠0时，OPOP12⋅≠1，故B错1+t11++tt误；设点Pxy(,)在心形线C上，∠αPOx=，角α以x轴非负半轴为起始边，则心形线C的方程转化2为|OP|+=OPsinαOP，即OP⋅(OP+sinα−=1)0，∴=OP1sin−α2，又 xx≠∴0,OP+OP<4，故C正确；由22221212OP=x+y2，可知−2y2.令txyt=+(0)，21则心形线C的方程可化为tty−+=0,Δ=−14y0,∴−2y，当y=0，42tt−=∴=0,t0或t=1，进而可得x=±1或0，当y=−1时，方程无整数解；当y=−2时，2tt−−=∴=20,t2，故xC=∴0,上有4个整点(−−1,0,1,0,0,0,0,2)()()()，故D正确.故选ACD.12.(1,+∞)由题意知Axx={1∣<−或x>1}，又Bxxaa=<∈{}∣(R)且AB∪=R，故a>1，即a的取值范围为(1,+∞).3π13.设圆锥母线长为R，底面圆半径长r，因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为R，半圆弧3长为2πr，所以πRr=2π，即Rr=2，因为表面积是侧面积与底面积的和，所以1222S=πRrr+==π3π3π，所以rR=1,=2，则圆锥的高hRr=−=223，所以表211223πV=πrh=××=π13.33314.144依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足ann+1−∈a{1,2,11}=+2kmkm(,∈N)，当k=0时，即后一项与前一项的差均为1，数列{an}的个数1为1；当k=1时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列{an}的个数为C10；当k=2时，即后2一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列{an}的个数为C9；当k=3时，即后一项与前一项的差出现3三个2，五个1，数列{an}的个数为C8；当k=4时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列45{an}的个数为C7；当k=5时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列{an}的个数为C6，所12345以符合上述要求的不同数列{an}的个数为1C+++++=109876CCCC144.15.解：（1）因为(ab−−=−)(sinAsinBcCbA)sinsin，22由正弦定理可得()ab−=−cab.可化为222ab=+−abc.222a+−bcab1又由余弦定理，有cosC===.2ab22ab π又C∈(0,π)，所以C=.3（2）因为c=7，由（1）有22ab=+−ab7.2可化为()ab−+−=ab70.又由ba−=1，有ab=6.11π33所以S=absinC=××6sin=.ABC223216.（1）证明：四边形ABCD为矩形，∴⊥CDAD，PA⊥平面ABCDCD,⊂平面ABCD,∴⊥PACD，又PA∩=ADAPAAD,,⊂平面PAD,∴⊥CD平面PAD，又AE⊂平面PAD,∴⊥CDAE.PA=AD，点E是PD的中点，∴⊥AEPD.又PD∩=CDDPDCD,,⊂平面PCD,∴⊥AE平面PCD.PC⊂平面PCD,∴⊥PCAE.又EF⊥PCAE,∩=EFEAEEF,,⊂平面AEF,∴⊥PC平面AEF，AF⊂平面AEF,∴⊥PCAF.（2）解：如图，因ABADAP,,两两垂直，故可以A为坐标原点，ABADAP,,所在直线分别为xyz,,轴建立空间直角坐标系，则APCD(0,0,0,)(0,0,1,)(2,1,0,)(0,1,0)，∴=−PC(2,1,1,)AD=(0,1,0).由（1）可知，AD=(0,1,0)可看成平面PAB的一个法向量， PC=(2,1,1−)可看成平面AEF的一个法向量.设平面AEF与平面PAB的所成角为θ，ADPC⋅16∴=cosθ==,ADPC2112++630∴=sinθ，630∴平面AEF与平面PAB所成角的正弦值为.617.解：（1）因为短轴长为23，所以b=3，1又椭圆C的离心率为，222cab−1则有e===，解得a=2，2aa222xy所以C的方程为+=1.43（2）因为PAB外接圆经过椭圆的左､右顶点，所以圆心M在y轴上，设圆心MmPxy(0,),(,)，则圆M的半径为2MP=m2+4，00m+4，所以222所以xymm+−=+()4.0022xy又点P在椭圆上，所以00+=1，两方程消去x得：ym=−6.0043ym−7m0再由直线PM的斜率为kPM==−，xx007m可设直线PM的方程为ym−=−(x−0)，x0x0令y=0，所以点Q的横坐标为.7 xx00又PQ=λQM，所以−=−x0λ0，解得λ=6.77x−118.（1）解：当a=1时，fx()=−−>elnxx1(0)，x−1x−11e1x−fx′()=−=e.xxx−1x−1令gxx()=−>e1(x0)，则gx′()=(x+>1e)0恒成立，gx()在(0,+∞)上单调递增，又因为g(10)=，则当x∈(0,1)时，fx′()<0；当x∈+(1,∞)时，fx′()>0.所以fx()在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.x−1（2）证明：fxa()=e−−∈+lnxx1,(0,∞)，x−11所以fxa′()=e−，令hx()=fxa′()(1)，xx−11则hxa′()=+>e0，所以fx′()在(0,+∞)上单调递增.2xx−11当a=1时，fx′()=e−，又f′(10)=，x有x∈(0,1,)fx′()<0，即fx()单调递减；x∈+(1,∞),fx′()>0，即fx()单调递增.0所以fxf()(1)=−−=eln110，22a−而此时=0.a+122a−所以当a=1时，fx()成立；a+111111−−11当a>1时，可得−<10，所以−1，所以f′=aeaa−=aae10−<.e1a<aa1x0−11又fa′(1)=−>10，所以存在x0∈,1，使得fx′(0)=0，即ae=，ax0 所以函数fx()在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增.fxfx=−−aex0−1lnx1aex0−1=1可得，所以()(00)，由x011fxx()00+−+>2lna2x⋅−+=2lnalna.xx0022a−下面证明lnaa>>(1).a+112122(xx+−−)()(x−1)222x−令ϕ(xx)=ln−>(x1)，所以ϕ′(x)=−=>0，22x+1x(x++1)xx(1)所以ϕ(x)在(1,+∞)上单调递增，所以ϕϕ(x)>=(10)，22a−22a−即lna>得证，即fx()>成立.a+1a+122a−综上，当a1时，fx()成立.a+119.（1）证明：因为{an}是等差数列，所以设aandan=+−=−+−11(1)111(nd)+，令bann=−+−11(n1,1)dc=，则{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，所以数列{an}是“优分解”的.*（2）证明：因为数列{an}是“优分解”的，设abcnnnn=+∈(N)，n−1其中bnn=+−b1(n1)dc,=cq11(c≠≠0,q0)，nn−−1212则Δannn=−=+a++1adcq1(q−1,)Δan=Δan11−=Δancq(q−1).2*当q=1时，Δann=0(∈N)；22当q≠1时，{Δan}是首项为cq1(−1)，公比为q的等比数列.*（3）解：一方面，因为数列{Sn}是“优分解”的，设SBCnnnn=+∈(N)，n−12n−12其中Bnn=+−B1(n1)DC,=CQ11(C≠≠0,Q0)，由（2）知ΔSn=CQ1(Q−1).2因为ΔSSSa1212=−==4,ΔSSSa2323=−==6，所以ΔSSS121=−=ΔΔ2.22所以CQ1(−=1)2，所以Q≠1，所以{ΔSn}是首项为2，公比为QQ(≠1)的等比数列. *另一方面，因为{an}是“优分解”的，设abcnnnn=+∈(N)，n−1其中bnn=+−b1(n1)dc,=cq11(c≠≠0,q0)，2nΔSSSaSSnnnn=−=+1+1,Δn=Δn+1−=−=+ΔSaadcnn++21n1qq(−1).2因为{ΔSn}是首项为2，公比为QQ(≠1)的等比数列，2222所以qq≠≠0,1，且(ΔS2)=(ΔSS13)⋅(Δ)，2323所以dcqq+1(−=+111)dcqq11(−⋅+)dcqq(−)，化简得cdqq1(−=1)0.n−1因为cqq1≠≠≠0,0,1，所以d=0，所以Δannn=−=a+11acq(q−1)，即数列{Δan}是首项Δaaa121=−=1，公比为q的等比数列.2又因为Δaaa232=−=2，所以q=2.又因为ΔS1=2，所以dcqq+1(−=12).因为dq=0,=2，解得c1=1，所以bac111=−=−=312.nn−−11综上所述，an=+−+b11(n1)dcq=+22.