河南省百校联考2024年高二下学期6月联考数学试题

2023—2024学年度高二6月联考数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11.若直线l的方向向量为(2,1,m)，平面α的法向量为1,,2，且l⊥α，则m=（）2A.2B.3C.4D.52.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（）A.6B.12C.24D.363.已知正项等比数列{aaan},23+=12,aa15⋅=81，则a5=（）A.81B.27C.32D.16114.甲､乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为,，则密码被破译的概率为（）32125A.B.C.D.163622y5.如图，FF12,是双曲线Cx1:1−=与椭圆C2的公共焦点，点A是CC12,在第一象限内的公共点，若8FF=FA，则椭圆C的离心率是（）12122432A.B.C.D.3555学科网（北京）股份有限公司 6.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（）A.2041年~2042年B.2061年~2062年C.2081年~2082年D.2101年~2102年7.在正方体ABCD−ABCD1111中，EF,分别在DBAB,1上，且BE=2,EDAF=2FB1，若正方体的棱长为3则EF=（）A.3B.22C.23D.412518.若abc=ln4,=ln,=，则（）4522A.abc<<B.bac<<C.bca<<D.acb<<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）11A.若随机变量ξ服从二项分布B4,，则P(ξ=3)=242B.若随机变量η服从正态分布NP(5,ση),(<=2)0.1，则P(2<<=η8)0.811C.若随机变量X服从两点分布，PX(=1)=，则DX()=22D.若随机变量Y的方差DY()=2，则DY(328+=)2210.已知点M在圆xyx++−=230上，点PQ(0,1,)(1,2)，则（）πA.存在点M，使得MP=1B.∠MQP4C.存在点M，使得MP=MQD.MQ=2MP11.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，以下说法正确的是（）A.an=86−nB.当k=3时，bnn=2C.当k=3时，b29不是数列{an}中的项D.若b9是数列{an}的项，则k的值可能为7学科网（北京）股份有限公司 12.设fx′()是三次函数yfx=()的导数，fx′′()是fx′()的导数，若方程fx′′()=0有实数解x0，则称点(xfx00,())为三次函数yfx=()的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是32三次函数图象的对称中心.设函数fx()=++xbxcx，则以下说法正确的是（）bbA.fx()的拐点为−−,f33B.fx()有极值点，则2bc−>30C.过fx()的拐点有三条切线D.若bc=−=3,1，则f(22−+xfx)()=−三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.5x313.在−的展开式中，x的系数为__________.3x3214.若函数fx()=++xax2在区间[1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是__________.15.已知数列{an}为正项等比数列，且aa23−=3，则a1的最小值为__________.216.已知点M在抛物线Cy:=2pxp(>0)上，过M作抛物线C的准线l的垂线，垂足为H，点F为C的焦点.若∠HMF=60，点M的横坐标为1，则p=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.117.（10分）已知函数fx()=+2lnx.x（1）求曲线yfx=()在点(1,f(1))处的切线方程；（2）求函数fx()的零点个数.18.（12分）2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题.某学校为了解家长对双减工作的满意程度，进行问卷调查（评价结果仅有“满意”､“不满意”），从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：满意不满意合计男性1050学科网（北京）股份有限公司 女性60合计120（1）请将22×列联表补充完整，试根据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性家长的人数，求X的分布列；（3）在抽出的120人中，从给出“满意”的家长中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“不满意”的家长*中抽取mm(∈N)人.现从这(10+m)人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“满意”的女性家长的人数.若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值.22nad()−bc参考公式：χ=，其中nabcd=+++.(abcdacbd++++)()()()参考数据：2Px(χ0)0.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828019.（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且aaSa21−==1,535.（1）求{an}的通项公式；1（2）设bann=+a，求数列{bn}的前n项和Tn.2n20.（12分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为棱AB的中点，AB=AC=2，BC=22,AD=2.（1）证明：AC⊥BD；（2）求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值.22xy121.（12分）已知椭圆方程为+=>>1(ab0)，离心率为e=且过点(0,3).22ab2（1）求椭圆方程；学科网（北京）股份有限公司 （2）过左焦点F1的直线交椭圆于MN,两点，是否存在实数λ，使MN=λFMFN11⋅恒成立？若存在，求此时MN的最小值；若不存在，请说明理由.x22.（12分）已知函数fx()=−−∈eax1,aR.（1）讨论fx()的单调性；（2）已知函数gx()=−(x1ln)(x−−1)a，若fxgx()()恒成立，求a的取值范围.学科网（北京）股份有限公司 2023—2024学年度高二6月联考数学参考答案及评分意见11.C【解析】直线l的方向向量为(2,1,m)，平面α的法向量为1,,2，且l⊥α，21∴l的方向向量(2,1,m)与平面α的法向量1,,2平行，22,=λ11∴(2,1,mm)=λλ1,,2.∴=1,解得=4.故选C.22m=2,λ2.D【解析】4名学生分到3个小区，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，∴423名同学不同的分组方法只能为2,1,1,∴不同的安排方法有CA=×=6636（种）.故选D.1323.A【解析】由aa15⋅=81，得a3=81，又因为{an}是正项等比数列，所以a3=9，又aa23+=12，aaq=3,=3=3，所以2所以2a53=aq=81.故选A.a24.B【解析】设“甲独立地破译一份密码”为事件A，“乙独立地破译一份密码”为事件B，111211则PA(),()=PB=,()1PA=−=,()1PB=−=，323322设“密码被破译”为事件C，1121112则PC()()()()=PAB+PAB+PAB=×+×+×=.故选B.323232322y5.C【解析】由FF12,是双曲线Cx1:1−=与椭圆C2的公共焦点可知，822xyFF12==FA16,FA1−=FA22,∴=FA24,∴+=FA1FA210，设椭圆方程为22+=1，则ab632a=10,∴椭圆C2的离心率是=.故选C.1056.B【解析】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列{an}，则等差数列{an}的通项公式为an=168276+(nn−=+1)761606，∴aa=×76516061986,+==×7661606+=∴2062,可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年.56故选B.7.A【解析】依题意，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，学科网（北京）股份有限公司 则DABB(0,0,0,)(3,0,0,)(3,3,0,)1(3,3,3)，因为BE=2,EDAF=2FB，所以EF(1,1,0,)(3,2,2)，1所以EF=(2,1,2)，故EF=++=4143.故选A.11lnx8.A【解析】由题意知：a=ln4=ln2，令fx()=(x∈+(0,∞))，42x1ln−xfx′()=，由fx′()=0，解得x=e，2x在(0,e,)fx′()>0，在(e,+<∞),fx′()0，所以fx()在(0,e)上单调递增；在(e,+∞)上单调递减.55125因为2e<<，所以ff(2)<，即ln2<ln，也就是ab<，222521又yf=(e)=，因为在(0,+∞)上仅有一个极大值，且极大值为最大值，极大e11所以yc=<=，即c最大，所以abc<<.故选A.maxe231131119.AB【解析】对于A，若随机变量ξ服从二项分布B4,，则P(ξ==3C)4⋅−=1.故2224选项A正确；2对于B，若随机变量η服从正态分布NP(5,ση),(<=2)0.1，则P(η>=8)0.1，故P(2<<=−<−>=η8)1PP(ηη2)(8)0.8.故选项B正确；221111111对于C，若PX(==1,)EX()=,DX()=−×+−×=01.故选项C错误.22222242对于D，根据方差的计算公式，DY()=2，则DY(3+=2)3DY()=18.故选项D错误.故选AB.222210.ABD【解析】圆xyx++−=230即(xy++=1)4，圆心C(−1,0)，半径r=2，又P(0,1)，22所以CP=2，因为点M在圆xyx++−=230上，所以MP∈−22,2+2，学科网（北京）股份有限公司 所以存在点M，使得MP=1，故A对.22因为(11)++=>284，所以点Q在圆外，又CP=<=22r，点P在圆内，ππ所以当QM与圆C相切时，∠MQP取最大值，此时∠MQP=，所以∠MQP，故B对.对于44222222D，设Mxy(,)，若MQ=2MP⇔MQ|=2MP|⇔−+−=(x1)(y2)2x+−⇔(y1)2222xyx++−=230，又点M在圆xyx++−=230上，∴=MQ2MP一定成立，故D对，C错.故选ABD.11.ABD【解析】对于A，由题意得annn=+−=−28186()，A正确；102−对于B，当k=3时，新数列的首项为2，公差为=2，故bnnn=+−=2212()，B正确；4对于C，由B选项可知b29=58，令8n−=658，得n=8，所以b29是数列{an}的第8项，C错误；对于D，插入k个数，则abababab1=12,,,,=kkk+++23=234=34∴等差数列{a}中的项在新的等差数列{b}中对应的下标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，则nnabn=111+−+(nk)(),b9是数列{an}的项，令1+−(nk119)(+=)，当k=7时，n=2，D正确.故选ABD.2b12.ABD【解析】A选项，f′(x)=++32,xbxcf′′(x)=+62xb，令fx′′()=0，解得x=−，3bb故fx()的拐点为−−,f，A正确；332B选项，fx()有极值点，则f′(x)=++32xbxc有变号零点，故22Δ=−>4bc120，故bc−>30，B正确；32C选项，不妨设bc==0，此时fxxfx()=,′()=3,xfx′′()=6x，拐点为(0,0)，设切点为3(xyyx000,,)=0，23故切线方程为y=32xx−x，0023将(0,0)代入y=3xx00−2x得，x0=0，此时过fx()的拐点有1条切线，C错误；322D选项，bc=−=3,1时，fxx()=−+3xxfx,′()=−+3x6x1,fx′′()=−6x6，学科网（北京）股份有限公司 令fxx′′()=660−=得，x=1，则f(11311)=−+=−，32故拐点为(1,1−)，则fxx()=−+3xx关于点(1,1−)对称，所以f(22−+xfx)()=−，D正确.故选ABD.55x313.−【解析】因为−的展开式的通项为273x5−rr53−rrx3rrr25−253−rT=C−=−⋅(1)3C⋅xr,=0，1,2,3,4,5，令=1，解得r=1，所以xr+153x52−3155的系数为−××=−13C.故答案为−.527273214.−+,∞【解析】由题意可知f′(x)=320x+ax在[1,+∞)上恒成立，所以−23ax在[1,+∞)233上恒成立，所以a−，故答案为−+,∞.2222215.12【解析】由于数列{an}为正项等比数列，所以a2=aa13=aq1，22a2(a3+3)99因此a===++aa62×+=612，133aaaa33339当且仅当a3=即a3=3时，等号成立，故a1的最小值为12.故答案为12.a3216.【解析】如图所示，不妨设点M在第一象限，因为点M的横坐标为1，32将x=1代入y=2,pxy=2p，即Mp(1,2)，又由MH⊥l，可得MH∥x轴，因为，可得∠∠xFM=HMF=60，所以直线MF的倾斜角为60，因为抛物线的焦点为∠HMF=6020p−pk==3F,0，则MFp，整理得22pp=32(−)，又20−>p，解得02<<p，即21−22223pp−+=20120，解得p=或p=6（舍去）.故答案为.33学科网（北京）股份有限公司 11217.解：（1）函数fx()=+2lnx，可得fx′()=−+，2xxx所以f′(11)=且f(11)=，即切线的斜率为k=1且切点坐标为(1,1)，所以切线方程为yx−=−11，即xy−=0.21x−（2）由（1）知，fx′()=,0x>，2x1当x∈0,时，fx′()<0,fx()单调递减21当x∈+,∞时，fx′()>0,fx()单调递增，2111所以当x=时，函数fx()取得极小值，也为最小值，f=22ln+=22ln2−>0，222所以fx()>0，所以函数fx()没有零点，即函数fx()的零点个数为0.18.解：（1）根据题意，得到22×列联表如下：满意不满意合计男性401050女性601070合计10020120零假设：“对双减工作满意程度的评价与性别无关”，22120(40101060)××−×χ=≈<0.6862.706，507010020×××所以根据小概率值α=0.10的独立性检验，没有充分证据证明零假设不成立，因此可以认为零假设成立，即认为“对双减工作满意程度的评价与性别无关”.402（2）从所有给出“满意”的家长中随机抽取1人为男性的概率和样本中的概率相同为=，1005学科网（北京）股份有限公司 2且各次抽取之间相互独立，所以随机变量XB∼3,，53223271223542336所以PX(==0)=,PX(==××1C)=,PX(==×2C)×=，3351255512555125328PX(=3)==，5125故随机变量X的分布列为：X01232754368P125125125125（3）在抽出的120人中，从给出“满意”的家长中利用分层抽样的方法抽取10人，4060其中男性有10×=4人，女性有10×=6人，所以随机变量Y的取值为0,1,2，1001002112CCC⋅Cmm++4466可得PY(=0)=,1PY(=)=,2PY(=)=，222CCCmmm+++1010102112CCC⋅C12mm++4466则随机变量Y的数学期望EY()=×01+×+×2=，222CCCm+10mmm+++10101012则1，解得m2，又因为*m∈N，故m的最大值为2.m+1019.解：（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且aaSa21−==1,535，设等差数列{an}的公差为d，aad−==1,21由题意得5adad11+=+103(4),a=1,1解得d=1,所以aandnn=+−=1(1).11（2）由（1）知，bann=+=+ann，22n1111所以Tnn=++++++++12323n22221111=+++++++++(123n)23n2222学科网（北京）股份有限公司 n11×−1122221nnn(+)nn++=+=−，21221−22nnn++21则数列{bn}的前n项和Tn=−.2220.（1）证明：AD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴⊥ACAD.222AB===∴+=AC2,BC22,ABACBC，∴⊥ACAB.又AD∩=ABAADAB,,⊂平面ABD，∴⊥AC平面ABD.又BD⊂平面ABD，∴⊥ACBD.（2）解：由题及（1）可知ABACAD,,两两相互垂直，以ABACAD,,所在直线分别为xyz,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：DBCM(0,0,2,)(2,0,0,)(0,2,0,)(1,0,0)，∴=BC(−2,2,0,)DC=−(0,2,2,)CM=−(1,2,0)，设平面BCD和平面DCM的法向量分别为m=(xyzn,,,)=(abc,,)，mBC⋅=−+=2x2y0,nDC⋅=−=2b2c0,则mDC⋅=−=2y2z0,nCM⋅=−=a2b0,取mn=(1,1,1,)=(2,1,1)，∴平面BCD和平面DCM夹角的余弦值为：mn⋅422cosmn,===.mn36×321.解：（1）由题，b=3，学科网（北京）股份有限公司 2b12e=−=1，所以a=4，2a222xy椭圆的标准方程为+=1.43（2）由（1）知，F1(−1,0).当直线MN斜率为零时，不妨设MN(−2,0,)(2,0)，则FM1=(−1,0,)FN1=(3,0,)FMFN11⋅=−3,MN=4，4此时存在λ=−，使MN=λFMFN11⋅成立，3当直线MN斜率不为零时，设直线方程为x=my−1,Mxy(11,),Nxy(22,)，x=my−1,22联立方程组xy22消去x得(3m+4)y−6my−=90，易知Δ>0，+=1,4369m−所以y+=y,yy=，12221234mm++34222212(m+1)MN=11+−my1y2=+m⋅+−=(y1y2)4yy122，34m+FMFN1⋅1=+(x11,y1)⋅+(x21,y2)=xx12++(x1x2)++1yy12，2又因为x1xmyymyy2=12−+++=+−(12)1,xxmyy12(12)2，2−+91(m)4所以FMFN⋅=+(m21,)yy=MN=−⋅FMFN，111221134m+312(m2+1)4又因为MN==−4，当m=0时，MN最小为3.2234mm++344综上，存在λ=−，使MN=λFMFN11⋅成立，MN最小为3.3x22.解：（1）由题意，fx′()=e−a，学科网（北京）股份有限公司 当a0时，fx′()>0,fx()在R上单调递增；当a>0时，令fx′()<0，得xa<ln，令fx′()>0，得xa>ln，所以fx()在(−∞,lna)上单调递减，在(ln,a+∞)上单调递增.综上，当a0时，fx()在R上单调递增；当a>0时，fx()在(−∞,lna)上单调递减，在(ln,a+∞)上单调递增.（2）gx()定义域为(1,+∞)，xxf(x)g(xa)⇔−−exxxa1(−1ln)(−−⇔−1)e1(xxa−1ln)(−+−1)(x1)，t+1t+1e1−令txxt=−=+1,1，则e−+>1lnttatt(0)，即at−ln在(0,+∞)上恒成立，tt+1t+1t+1e1−(tt−1e)+−1(t−−1e1)()令ht()=−>ln(tt0)，则ht′()==，ttt22令ht′()<0，得01<<t，令ht′()>0，得t>1，2所以ht()在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则hth()(1e1)=−，2−−∞,e21所以ae1−，即实数a的取值范围为(.学科网（北京）股份有限公司