浙江2024年高一3月四校联考数学试题+答案

2023学年第二学期高一年级四校联考数学学科试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1,2,3,4}，AB={1,2,3,4,6}，AB={2,4}，则B=（）A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{2,4,6}D．{1,4,6}yy122．设axy=(,)，bxy=(,)，则“=”是“ab//”的（）1122xx12A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．非充分非必要条件3．已知向量a=(3,4)，bm=−(2,)，c=(2,1)−，若(abc−⊥)，则m=（）13A．−6B．−2C．6D．24．在四边形ABCD中，O为任意一点，若OAOBOCOD−+−=0，则（）A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是正方形D．四边形ABCD是平行四边形5．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．a=4，b=5，c=6B．a=3，b=2，A=45°C．a=10，A=45°，B=70°D．a=3，b=2，A=60°6．已知六边形ABCDEF为正六边形，且AC=a，BD=b，以下不正确的是（）学科网（北京）股份有限公司 2111A．DE=−+abB．BC=a+b33332224C．AF=−+abD．BE=−+ab33337．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高PQ为（）米A．45(6−2)B．45(6+2)C．90(31−)D．90(31+)ABAC8．已知点P是△ABC所在平面内的动点，且满足OP=OA++>λλ(0)，射线AP与边BC交ABAC2π于点D，若∠=BAC，AD=1，则BC的最小值为（）3A．3B．2C．23D．43二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）11A．e=−(1,2)，e=(5,7)B．e=(4,5)−，e=−,121254C．e=(2,3)，e=(0,0)D．e=−(1,2)，e=(2,1)1212210．函数fx()=23sinωωxcosx+2cosωx−<<1(0ω1)的图象如图所示，则（）学科网（北京）股份有限公司 A．fx()的最小正周期为2ππB．yfx=2+是奇函数3ππC．yfx=+cosx的图象关于直线x=对称6121117D．若y=ftxt()(>0)在[0,π]上有且仅有两个零点，则t∈,6611．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O为△ABC内的一点，设AO=λµAB+AC，则下列说法正确的是（）225A．若O为△ABC的重心，则λµ+=B．若O为△ABC的外心，则λµ+=33237C．若O为△ABC的内心，则λµ+=D．若O为△ABC的垂心，则λµ+=816第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量a与b的夹角为30°，a=3，b=1，则ab+=__________．213．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知ab≠，c=2，sinA=，2223cosA−=cosB3sinAAcos−sin2B，则△ABC的面积是__________．21ππ14．已知函数fxm()=sinx−−+sinx2在,2π上有两个不同的零点，则满足条件的所有m的值242组成的集合是__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科网（北京）股份有限公司 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知点A(1,2)−−，B(3,1)，C(4,3)−−．（1）求向量AB在AC的投影向量的坐标；（2）求△ABC的面积．216．（15分）已知函数fx()=−−(logx)log()2x．22（1）若fx()0<，求x的取值范围；1（2）当≤≤x8时，求函数fx()的值域．417．（15分）如图，在△ABC中，D是BC中点，E在边AB上，且BE=2EA，AD与CE交于点O．（1）用AB，AC表示AO；2（2）过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且AG=AB，AH=tAC，求t的值；3AB（3）若ABAC⋅=⋅6AOEC，求的值．AC18．（17分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，acos(BCaA−+)cos=23sincBAcos．（1）求A的大小；（2）若BC=2，将射线BA和射线CA分别绕点B，C顺时针旋转15°，30°，旋转后相交于点D（如图所示），且∠=DBC30°，求AD．学科网（北京）股份有限公司 19．（17分）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的1公式：S=−−−ppapbpc()()()，这个公式常称为海伦公式．其中，p=()abc++．我国南宋著名数2学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：21cab222+−22S=ca−，这个公式常称为“三斜求积”公式．421（1）利用“三斜求积”公式证明三角形的面积公式S=acsinB；2BAsin（2）在△ABC中，ac+=8，tan=，求△ABC而积的最大值．22cos−A2023学年第二学期高一年级3月月考数学学科参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．AD10．ACD11．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．33+12．713．14．{−−3,22}3四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）（1）因为AB=(4,3)，AC=−−(3,1)，ABAC⋅4(3)3(1)×−+×−393所以AB在AC上的投影向量为：2⋅=AC22⋅=AC−=AC,．AC(3)(1)−+−2222222（2）AB=+=435，AC=−+−(3)(1)=10，ABAC⋅−15310ABAC⋅=×−+×−=−4(3)3(1)15，∴∠=cosBAC==−，ABAC⋅5×1010学科网（北京）股份有限公司 π1011105A∈0,，∴∠=sinBAC，∴S=ABAC⋅⋅∠sinBAC=××510×=．△ABC210221022216．（1）设tx=log，x>0，t∈R，所以fx()=(logx)−logx−<20，即tt−−<20，22211解得−<<12t，所以−<1logx<2，解得<<x4，即x∈,4；22212（2）由（1）得，当≤≤x8，t∈−[2,3]，所以函数可转化为ytt=−−2，t∈−[2,3]，419当t=时，y取最小值为−，24当t=−2或t=3时，y取最大值为4，9即当x=2时，fx()取最小值为f(2)=−，411当x=或x=8时，fx()取最大值为ff=(8)=4，449即函数fx()的值域为−,4．417．（1）因为A，O，D三点共线，所以AO=λAD，()λ∈R，且E，O，C三点共线，所以AO=µµAE+−(1)AC，其中D是BC中点，且BE=2EA，11111µAO==+=+λλADABACλλABACλ=222223所以即µ1=−AO=µµAE+−(1)AC=AB+−(1µ)ACλµ(1)321311解得λ=，µ=所以AO=AB+AC．2444（2）因为H，O，G三点共线，所以AO=mAG+−(1mAH)，22m其中AG=AB，AH=tAC，所以AO=AB+−(1mtAC)，3321m3=m=3482根据平面向量基本定理可得：即，所以t=．(1−=mt)1t=254511131222（3）ABAC⋅=66AOEC⋅=AB+AC⋅−AB+AC=−AB+AC+ABAC⋅，443233学科网（北京）股份有限公司 221AB整理可得：AC=AB，所以=3．3AC18．（1）cosA=−+cos(BC)，∴aBCaBCcos(−−)cos(+=)23sincBAcos，∴+−+=aBCaBCaBCaBCcoscossinsincoscossinsin23sincBAcos，∴=aBCcBAsinsin3sincos，即sinsinsinABC=3sinCBAsincos，所以tanA=3，π又因为A∈(0,π)，所以A=．3BC26（2）在△ABC中，由正弦定理得AC=sin∠=ABC，sin∠BAC3BC在△BCD中，由于∠=BDC45°，由正弦定理得CD=sin∠=DBC2，sin∠BDC226于是，在△ACD中，由余弦定理得：AD=+−⋅∠=ACCD2ACCDcosACD．3222222cab+−cab+−19．（1）因为cosB=，即=accosB，2ac221cab222+−111222222222可得S=−ca=−ca(accos)B=ca(1cos−=B)acsinB，424421且B∈(0,π)，则sinB>0，所以S=acsinB．2BBBsin2sincosBB222sin（2）因为tan===，2BB21cos+Bcos2cos22sinBAsin由题意可得=，即sin(2cos)BAAB−=+sin(1cos)，1cos+−BA2cos整理得2sinBAABABAA=sin+sincos+cossin=sin+sin(+=BAC)sin+sin，ac+由正弦定理可得28bac=+=，即b==4，2221c222+−ab1()2ca+−−2acb22222△ABC的面积S=ca−=ca−42422122642−−ac161222=ca−=ca−−(24ac)=12ac−144，424学科网（北京）股份有限公司 2()ac+因为ac≤=16，当且仅当ac=时，等号成立，4则S=12ac−≤×−=144121614443，所以△ABC面积的最大值为43．学科网（北京）股份有限公司